Решите систему: { 1 x−1 + 2 x−2 − 6 x−3 ≥0 √ x2+34≥6 √ x2+34≥6

Решим данную систему неравенств:

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

Перед началом решения нужно определить область допустимых значений (ОДЗ), при которых все выражения имеют смысл.

1. В первом неравенстве есть знаменатели $x - 1$, $x - 2$, $x - 3$, поэтому:

   $$x \ne 1,\quad x \ne 2,\quad x \ne 3$$

2. Во втором неравенстве находится корень: $\sqrt{x^2 + 34}$. Поскольку подкоренное выражение всегда положительно ($x^2 + 34 > 0$ для любого $x$), оно определено при всех $x$. Значит ограничений по определению здесь нет.

Таким образом, ОДЗ:

Шаг 2: Решим неравенство с корнем

Возведем обе части в квадрат (допустимо, так как обе части неотрицательные):

Решение:

Шаг 3: Решим рациональное неравенство

Приведем всё к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Запишем числитель:

Распишем числитель:

• $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6$

• $2(x - 1)(x - 3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6$

• $-6(x - 1)(x - 2) = -6(x^2 - 3x + 2) = -6x^2 + 18x - 12$

Складываем:

Таким образом, неравенство:

Шаг 4: Решим методом интервалов

Найдём нули числителя и знаменателя:

• Числитель: $-3x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(-3x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \frac{5}{3}$