Решите систему: { 1 x−1 + 2 x−2 − 6 x−3 ≥0 √ x2+34≥6 √ x2+34≥6

Ответы на вопрос

Отвечает Иванова Ангелина.

Решим данную систему неравенств:

\begin{cases} \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6}{x - 3} \geq 0 \\ \sqrt{x^2 + 34} \geq 6 \end{cases}

Перед началом решения нужно определить область допустимых значений (ОДЗ), при которых все выражения имеют смысл.

В первом неравенстве есть знаменатели $x - 1$ , $x - 2$ , $x - 3$ , поэтому:
$x \ne 1,\quad x \ne 2,\quad x \ne 3$
Во втором неравенстве находится корень: $\sqrt{x^2 + 34}$ . Поскольку подкоренное выражение всегда положительно ( $x^2 + 34 > 0$ для любого $x$ ), оно определено при всех $x$ . Значит ограничений по определению здесь нет.

Таким образом, ОДЗ:

x \in \mathbb{R},\ x \ne 1,\ x \ne 2,\ x \ne 3

\sqrt{x^2 + 34} \geq 6

Возведем обе части в квадрат (допустимо, так как обе части неотрицательные):

x^2 + 34 \geq 36 \Rightarrow x^2 \geq 2

Решение:

x \leq -\sqrt{2}\quad \text{или} \quad x \geq \sqrt{2}

\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} - \frac{6}{x - 3} \geq 0

Приведем всё к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Запишем числитель:

\frac{(x - 2)(x - 3) + 2(x - 1)(x - 3) - 6(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} \geq 0

Распишем числитель:

Складываем:

x^2 - 5x + 6 + 2x^2 - 8x + 6 - 6x^2 + 18x - 12 = -3x^2 + 5x

Таким образом, неравенство:

\frac{-3x^2 + 5x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} \geq 0

Найдём нули числителя и знаменателя:

Числитель: $-3x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(-3x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \frac{5}{3}$

Ответы на вопрос