найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: f(x)=x/(x+1) на промежутках [-3;-2] и [1;5]

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x}{x+1}$ на промежутках $[-3, -2]$ и $[1, 5]$, необходимо выполнить несколько шагов: вычислить значения функции на границах промежутков, а также найти её критические точки, если они есть.

1. Найдем критические точки функции.

Для начала вычислим производную функции $f(x)$. Функция представлена в виде дроби, поэтому для нахождения производной применим правило дифференцирования дроби:

Производная функции всегда положительна для всех значений $x \neq -1$, то есть функция возрастает на всех промежутках, где её определение возможно, за исключением точки $x = -1$, где функция не определена. Важно заметить, что на нашем промежутке $[-3, -2]$ точка $x = -1$ находится внутри, но мы будем искать наибольшее и наименьшее значения только на концах промежутков, так как в промежутке не будет изменений в порядке (производная положительная).

2. Вычислим значения функции на границах промежутков.

На промежутке $[-3, -2]$:

• $f(-3) = \frac{-3}{-3 + 1} = \frac{-3}{-2} = 1.5$

• $f(-2) = \frac{-2}{-2 + 1} = \frac{-2}{-1} = 2$

На промежутке $[1, 5]$:

• $f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$

• $f(5) = \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$

3. Наибольшее и наименьшее значения:

• На промежутке $[-3, -2]$, наибольшее значение функции $f(x) = 2$, а наименьшее значение $f(x) = 1.5$.

• На промежутке $[1, 5]$, наибольшее значение функции $f(x) = 0.8333$, а наименьшее значение $f(x) = 0.5$.

Ответ:

• На промежутке $[-3, -2]$ наибольшее значение функции равно 2, наименьшее — 1.5.

• На промежутке $[1, 5]$ наибольшее значение функции равно 0.8333, наименьшее — 0.5.