Построить график функции: y = (x^4)/2

Для того чтобы построить график функции $y = \frac{x^4}{2}$, давай разберем её поведение по частям и опишем пошагово, как он будет выглядеть.

1. Общий вид функции

Функция $y = \frac{x^4}{2}$ — это степенная функция четной степени (четвёртая степень), поделённая на 2. Это означает, что график будет симметричен относительно оси $y$, поскольку $f(x) = f(-x)$.

2. Область определения

Функция определена при всех значениях $x \in \mathbb{R}$, потому что любую степень числа можно возвести, и деления на ноль нет.

3. Нули функции

Поскольку $x^4 = 0$ только при $x = 0$, то график проходит через начало координат. Это единственная точка, где значение функции равно нулю.

4. Знаки функции

Так как $x^4$ всегда неотрицательно (даже отрицательные числа при четной степени становятся положительными), и деление на 2 не меняет знак, то функция $y = \frac{x^4}{2}$ всегда неотрицательная:

5. Поведение при больших $x$

При увеличении $x$ по модулю (как в положительную, так и в отрицательную сторону), значение функции стремительно возрастает:

• При $x = 2$: $y = \frac{16}{2} = 8$

• При $x = -2$: $y = \frac{(-2)^4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Чем больше модуль $x$, тем круче поднимается график.

6. Производная и выпуклость

Первая производная:

Это означает:

• $y' < 0$ при $x < 0$ → функция убывает на $(-\infty, 0)$

• $y' > 0$ при $x > 0$ → функция возрастает на $(0, \infty)$

В точке $x = 0$ производная равна нулю, и это точка минимума.

Вторая производная:

Так как вторая производная всегда положительна, график везде выпуклый вверх.

7. Построение графика

Чтобы нарисовать график вручную, можно взять несколько характерных точек:

Соединяя эти точки плавной линией, получим U-образную кривую, очень похожую на параболу, но с более пологим началом и резким ростом на краях.

8. Итог

График функции $y = \frac{x^4}{2}$ представляет собой симметричную кривую, проходящую через начало координат, с единственным минимумом в точке $(0, 0)$, возрастающую по модулю $x$ и никогда не пересекающую ось $x$ больше ни в одной точке. Он выглядит как очень «приплюснутая» и «острая» парабола.