Точка совершает гармонические колебания по закону x = 3 cos (πt/2 + π/8), м. Определите: 1) период T колебаний; 2) максимальную скорость Vmax точки; 3) максимальное ускорение amax точки.

1. Период колебаний $T$:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:
$x(t) = A \cos\left(\omega t + \varphi\right),$
где $A$ — амплитуда, $\omega$ — угловая частота, $\varphi$ — фаза, $t$ — время.

В данном случае у нас уравнение:
$x(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{8}\right).$
Сравнив это с общим видом, можно заметить, что угловая частота $\omega = \frac{\pi}{2}$.

Период $T$ колебаний связан с угловой частотой формулой:

Подставляем $\omega = \frac{\pi}{2}$:

Ответ: Период колебаний $T = 4$ секунды.

2. Максимальная скорость $V_{\text{max}}$:

Скорость точки при гармонических колебаниях — это производная от положения по времени:

Из уравнения $x(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$ находим производную:

Максимальная скорость будет соответствовать максимальному значению синуса, которое равно 1. Поэтому максимальная скорость:

Ответ: Максимальная скорость (V_{\text{max}} = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 , \text{м/с}.

3. Максимальное ускорение $a_{\text{max}}$:

Ускорение — это производная от скорости по времени:

Из ранее полученного выражения для скорости:

находим производную ускорения:

Максимальное ускорение будет соответствовать максимальному значению косинуса, которое равно 1. Поэтому максимальное ускорение:

Ответ: Максимальное ускорение (a_{\text{max}} = \frac{3\pi^2}{4} \approx 7.4 , \text{м/с}^2.