Металлический цилиндр подвесили на пружине и полностью погрузили в воду. При этом растяжение пружины уменьшилось 1,5 раза. Рассчитайте плотность металла.

Для решения задачи нужно использовать принцип Архимеда и закон Гука.

1. Исходные данные:

   • Цилиндр подвешен на пружине, и когда его погружают в воду, растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза.
   • Изменение растяжения пружины связано с действием силы Архимеда, которая уменьшается за счет выталкиваемой воды.

2. Обозначения:

   • $m$ — масса цилиндра.
   • $k$ — жесткость пружины.
   • $x_0$ — исходное растяжение пружины, когда цилиндр подвешен в воздухе.
   • $x_1$ — растяжение пружины после того, как цилиндр погружен в воду.
   • $V$ — объём цилиндра.
   • $\rho_\text{металла}$ — плотность металла.
   • $\rho_\text{воды}$ — плотность воды (приблизительно 1000 кг/м³).

3. Анализ силы, действующей на цилиндр:

   • Когда цилиндр подвешен в воздухе, на него действует сила тяжести $F_\text{тяж} = mg$, где $m$ — масса цилиндра, а $g$ — ускорение свободного падения.
   • Когда цилиндр погружается в воду, на него начинает действовать сила Архимеда, которая равна весу вытолкнутой воды: $F_\text{арх} = \rho_\text{воды} V g$.

   Закон Гука для пружины гласит, что сила растяжения пружины пропорциональна изменению её длины:

   $$F = k \cdot \Delta x,$$

   где $\Delta x$ — изменение длины пружины.

4. При погружении в воду: После погружения в воду растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза. То есть, новое растяжение $x_1$ будет равно:

   $$x_1 = \frac{x_0}{1,5}.$$

   Это означает, что сила, действующая на пружину, уменьшилась на 1,5 раза. Сила на пружину в воздухе — это просто сила тяжести $mg$. Сила на пружину в воде уменьшилась из-за действия силы Архимеда:

   $$F_\text{пруж} = mg - F_\text{арх}.$$

   Для сил, действующих на пружину, это можно записать так:

   $$k \cdot x_1 = mg - \rho_\text{воды} V g.$$

   Подставим $x_1 = \frac{x_0}{1,5}$, получаем:

   $$k \cdot \frac{x_0}{1,5} = mg - \rho_\text{воды} V g.$$

5. Сравнение с начальной ситуацией: В начальной ситуации, когда цилиндр был подвешен в воздухе, на пружину действовала сила тяжести:

   $$k \cdot x_0 = mg.$$

6. Решение: Теперь можно выразить массу цилиндра через его плотность и объём:

   $$m = \rho_\text{металла} V.$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$k \cdot \frac{x_0}{1,5} = \rho_\text{металла} V g - \rho_\text{воды} V g.$$

   Упростим:

   $$k \cdot \frac{x_0}{1,5} = V g (\rho_\text{металла} - \rho_\text{воды}).$$

   Используем то, что $k \cdot x_0 = m g = \rho_\text{металла} V g$, и получаем:

   $$\frac{\rho_\text{металла} V g}{1,5} = V g (\rho_\text{металла} - \rho_\text{воды}).$$

   Упростим:

   $$\frac{\rho_\text{металла}}{1,5} = \rho_\text{металла} - \rho_\text{воды}.$$

   Переносим все слагаемые с $\rho_\text{металла}$ в одну сторону:

   $$\rho_\text{металла} \left( 1 - \frac{1}{1,5} \right) = \rho_\text{воды}.$$

   Упрощаем:

   $$\rho_\text{металла} \cdot \frac{1}{3} = \rho_\text{воды}.$$

   Таким образом:

   $$\rho_\text{металла} = 3 \cdot \rho_\text{воды}.$$