Первую часть пути машина проехала со скоростью v, а вторую часть со скоростью 4v. В результате всего движения средняя скорость машины оказалась равна 2v. Во сколько раз вторая часть пути длиннее первой?

Для решения задачи давайте обозначим длину первой части пути как $S_1$, а длину второй части пути как $S_2$. Также известно, что первая часть пути проехана со скоростью $v$, а вторая — со скоростью $4v$. Средняя скорость за всё путешествие равна $2v$.

Средняя скорость вычисляется как общий путь, делённый на общее время. Пусть общее расстояние будет равно $S_1 + S_2$, а общее время — $t_1 + t_2$, где $t_1$ и $t_2$ — это время, затраченное на первую и вторую часть пути соответственно.

Время для первой части пути:
$t_1 = \frac{S_1}{v}$.

Время для второй части пути:
$t_2 = \frac{S_2}{4v}$.

Средняя скорость по формуле равна:

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

Упростим выражение в знаменателе:

Теперь, умножим обе стороны уравнения на $4v$, чтобы избавиться от знаменателя:

Сократим на $v$:

Раскроем скобки:

Преобразуем уравнение:

Отсюда:

Таким образом, вторая часть пути в два раза длиннее первой. Ответ: вторая часть пути длиннее первой в 2 раза.