Точки E и K середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD докажите что AECK параллелограмм

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник AECK является параллелограммом, нужно воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремами о серединах отрезков.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором точки E и K — середины сторон AB и CD соответственно. Нам необходимо доказать, что четырёхугольник AECK является параллелограммом.

1. Свойства середины отрезков: По условию, точка E — середина отрезка AB, а точка K — середина отрезка CD. Это означает, что отрезки AE = EB и CK = KD.

2. Векторное представление отрезков: Обозначим координаты вершин параллелограмма следующим образом:

   • A (x₁, y₁),
   • B (x₂, y₂),
   • C (x₃, y₃),
   • D (x₄, y₄).

   Поскольку точки E и K — середины отрезков AB и CD, можно записать координаты этих точек как среднее арифметическое координат концов отрезков:

   • E = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2),
   • K = ((x₃ + x₄) / 2, (y₃ + y₄) / 2).

3. Векторные уравнения для сторон четырёхугольника AECK: Для того чтобы показать, что четырёхугольник AECK является параллелограммом, необходимо доказать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

   Рассмотрим векторы, которые представляют стороны четырёхугольника AECK:

   • Вектор AE = E - A = ((x₁ + x₂) / 2 - x₁, (y₁ + y₂) / 2 - y₁) = ((x₂ - x₁) / 2, (y₂ - y₁) / 2).
   • Вектор CK = K - C = ((x₃ + x₄) / 2 - x₃, (y₃ + y₄) / 2 - y₃) = ((x₄ - x₃) / 2, (y₄ - y₃) / 2).

   Теперь рассмотрим вектор EK:

   • Вектор EK = K - E = ((x₃ + x₄) / 2 - (x₁ + x₂) / 2, (y₃ + y₄) / 2 - (y₁ + y₂) / 2).
   • Упростив, получаем:
     EK = ((x₄ - x₂) / 2, (y₄ - y₂) / 2).

   Теперь, чтобы убедиться, что противоположные стороны равны и параллельны, заметим следующее:

   • Вектор AE равен вектору CK (по компонентам), что означает, что стороны AE и CK параллельны и равны по длине.
   • Вектор EK равен вектору AC (по компонентам), что означает, что стороны EK и AC также параллельны и равны по длине.

4. Заключение:
   Так как противоположные стороны четырёхугольника AECK параллельны и равны, по определению, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник AECK является параллелограммом.