4. Во сколько раз изменился период колебания маятника в ракете, стартующей с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением a = 30 м/с2. 5. Два математических маятника, один длиной l1 = 10 см, другой – l2 = 20 см, совершает колебания с одинаковыми угловыми амплитудами. Определите периоды колебаний маятников и отношение их энергий, если массы шариков одинаковы. очень надо с подробным решением

Задача 4: Период колебания маятника в ракете

Условие

Ракета стартует вертикально вверх с поверхности Земли с ускорением $a = 30 \, \text{м/с}^2$. Нужно определить, во сколько раз изменится период колебания математического маятника в ракете по сравнению с периодом колебания на поверхности Земли.

Решение

1. Формула периода математического маятника:

   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{эфф}}}}$$

   где:

   • $l$ — длина маятника,
   • $g_{\text{эфф}}$ — эффективное ускорение свободного падения.

2. На поверхности Земли: Эффективное ускорение равно ускорению свободного падения $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$. Тогда период на Земле:

   $$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

3. В ракете: Ракета движется с ускорением $a = 30 \, \text{м/с}^2$. Эффективное ускорение в ракете складывается из ускорения свободного падения $g$ и ускорения ракеты $a$, так как оба направлены в одну сторону:

   $$g_{\text{эфф}} = g + a = 9.8 + 30 = 39.8 \, \text{м/с}^2$$

   Период в ракете:

   $$T_{\text{ракета}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{эфф}}}}$$

4. Отношение периодов: Найдем, во сколько раз изменился период:

   $$\frac{T_{\text{ракета}}}{T_0} = \sqrt{\frac{g}{g_{\text{эфф}}}} = \sqrt{\frac{9.8}{39.8}} \approx \sqrt{0.246} \approx 0.496$$

   Период маятника в ракете уменьшится примерно в 2 раза.

Задача 5: Два математических маятника

Условие

Имеем два маятника:

• $l_1 = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}$,
• $l_2 = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}$.

Они совершают колебания с одинаковыми угловыми амплитудами. Нужно определить:

1. Периоды колебаний обоих маятников,
2. Отношение их энергий, если массы шариков одинаковы ($m_1 = m_2 = m$).

Решение

1. Формула периода математического маятника:

   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

   где $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$.

   Для первого маятника ($l_1 = 0.1 \, \text{м}$):

   $$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{0.1}{9.8}} \approx 2\pi \cdot 0.101 = 0.634 \, \text{с}$$

   Для второго маятника ($l_2 = 0.2 \, \text{м}$):

   $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{9.8}} \approx 2\pi \cdot 0.143 = 0.9 \, \text{с}$$

2. Формула потенциальной энергии: Полная энергия маятника определяется как:

   $$E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$$

   где:

   • $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — циклическая частота,
   • $A$ — амплитуда (она одинакова для обоих маятников).

   Для каждого маятника:

   $$E_1 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2 A^2, \quad E_2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2 A^2$$