Найти область определений функции y=(x^2-9)^-1/3

Для нахождения области определения функции $y = (x^2 - 9)^{-1/3}$ нам нужно понять, при каких значениях $x$ функция будет определена.

1. Определение функции: Функция имеет вид $(x^2 - 9)^{-1/3}$. Здесь присутствует два важных аспекта:

   • Сначала мы рассмотрим выражение $x^2 - 9$.
   • Затем мы обратим внимание на то, что у нас стоит знак минус перед одной третьей степени.

2. Решение неравенства: Чтобы определить, при каких $x$ это выражение будет определено, нужно обратить внимание на то, что корень из отрицательного числа в данном контексте является допустимым. Мы можем найти точки, при которых выражение равно нулю, решив уравнение:

   $$x^2 - 9 = 0$$

   Это уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$. В этих точках выражение $x^2 - 9$ становится равным нулю, что приведет к неопределенности функции.

3. Анализ промежутков: Теперь мы определим знаки выражения $x^2 - 9$ на интервалах, образованных корнями:

   • Для $x < -3$ (например, $x = -4$): $(-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$ (положительное).
   • Для $-3 < x < 3$ (например, $x = 0$): $0^2 - 9 = -9$ (отрицательное).
   • Для $x > 3$ (например, $x = 4$): $(4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$ (положительное).

4. Определение области определения: Учитывая эти результаты, мы видим, что:

   • Функция будет определена для $x < -3$ и $x > 3$, так как в этих интервалах $x^2 - 9$ положительно.
   • Функция не определена в точках $x = -3$ и $x = 3$ (поскольку деление на ноль не допускается).

Таким образом, область определения функции $y = (x^2 - 9)^{-1/3}$ будет:

Эти промежутки обозначают все допустимые значения $x$, при которых функция принимает действительные значения.