Смешав 31-процентный и 57-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 37-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 42-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 31-процентного раствора использовали для получения смеси?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Обозначим:

• массу 31-процентного раствора кислоты за $x$ кг;
• массу 57-процентного раствора кислоты за $y$ кг.

Первое условие

При смешивании этих растворов и добавлении 10 кг чистой воды мы получаем 37-процентный раствор кислоты.

Масса кислоты в 31-процентном растворе будет $0.31x$, а в 57-процентном растворе — $0.57y$. Чистая вода не содержит кислоты, поэтому масса кислоты в новой смеси равна $0.31x + 0.57y$.

Общая масса смеси после добавления 10 кг воды становится $x + y + 10$. Поскольку концентрация нового раствора — 37%, у нас есть следующее уравнение:

Умножим обе стороны на $x + y + 10$, чтобы избавиться от знаменателя:

Раскроем скобки:

Перенесем все члены, содержащие $x$ и $y$, в одну сторону уравнения:

Второе условие

Если вместо 10 кг воды добавить 10 кг 50-процентного раствора, то получится 42-процентный раствор кислоты.

В этом случае масса кислоты будет:

Общая масса раствора теперь составит $x + y + 10$, и по условию его концентрация будет 42%, так что у нас будет уравнение:

Умножим обе стороны на $x + y + 10$:

Раскроем скобки:

Переносим все члены с $x$ и $y$ в одну сторону:

Система уравнений

Мы получили следующую систему:

1. $-0.06x + 0.2y = 3.7$
2. $-0.11x + 0.15y = -0.8$

Решим эту систему. Для этого можно выразить $y$ через $x$ из одного уравнения и подставить в другое или решить её методом подстановки или методом Крамера.

Решение системы уравнений

После решения этой системы уравнений находим, что:

Таким образом, для получения смеси использовали 40 кг 31-процентного раствора кислоты.