Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению.При этом он затратил столько времени,сколько ему потребовалось бы,если бы он шел 18 км по
озеру.Какова собственная скорость катера,если известно,что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Рассмотрим задачу и разберём её по этапам.

Дано:

1. Катер прошел 12 км против течения и 5 км по течению реки.
2. Суммарное время на это расстояние равно времени, которое катер потратил бы на движение по озеру на 18 км.
3. Собственная скорость катера неизвестна, обозначим её как $v$ км/ч.
4. Скорость течения реки составляет $u = 3$ км/ч.

Требуется найти собственную скорость катера $v$.

Решение:

1. Определим скорость катера относительно берега:

   • При движении против течения скорость катера уменьшается на скорость течения, поэтому его скорость будет $v - u$.
   • При движении по течению скорость катера увеличивается на скорость течения, поэтому его скорость будет $v + u$.

2. Время в пути на каждом участке:

   • Время на путь 12 км против течения: $t_1 = \frac{12}{v - u}$.
   • Время на путь 5 км по течению: $t_2 = \frac{5}{v + u}$.

   Итак, общее время для движения по реке:

   $$t_{\text{река}} = t_1 + t_2 = \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3}$$

3. Время для движения по озеру:

   • В озере нет течения, поэтому катер движется со своей собственной скоростью $v$ на расстояние 18 км.
   • Время для прохождения 18 км по озеру: $t_{\text{озеро}} = \frac{18}{v}$.

4. Составим уравнение: По условию, время на реке равно времени на озере:

   $$\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v}$$

5. Решим это уравнение: Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от дробей. Для этого умножим обе части на $v(v - 3)(v + 3)$, что позволит исключить знаменатели:

   $$12v(v + 3) + 5v(v - 3) = 18(v - 3)(v + 3)$$

6. Раскроем скобки и упростим выражение:

   • Раскрывая скобки, получаем:

     $$12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)$$

   • Объединим и упрощаем:

     $$17v^2 + 21v = 18v^2 - 162$$

   • Перенесем все слагаемые влево:

     $$-v^2 + 21v + 162 = 0$$

   • Умножим уравнение на -1, чтобы сделать коэффициент при $v^2$ положительным:

     $$v^2 - 21v - 162 = 0$$

7. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$v = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162)}}{2 \cdot 1}$$

   Посчитаем дискриминант:

   $$D = 21^2 + 4 \cdot 162 = 441 + 648 = 1089$$ $$v = \frac{21 \pm \sqrt{1089}}{2}$$

   Поскольку $\sqrt{1089} = 33$, то:

   $$v = \frac{21 \pm 33}{2}$$

   Находим два корня:

   1. $v = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$
   2. $v = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ (отрицательная скорость не подходит)

   Итак, собственная скорость катера $v = 27$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера равна 27 км/ч.