помогите решить линейное диофантово уравнение 3х+5у=10

Решим уравнение:

\[3x + 5y = 10\]

Выразим \(x\):

\[3x = 10 - 5y\]

Чтобы \(x\) было целым, число \(10 - 5y\) должно делиться на \(3\). Рассмотрим по модулю \(3\):

\[10 - 5y \equiv 0 \pmod 3\]

Так как \(10 \equiv 1 \pmod 3\), а \(5 \equiv 2 \pmod 3\), получаем:

\[1 - 2y \equiv 0 \pmod 3\]

\[2y \equiv 1 \pmod 3\]

Отсюда \(y \equiv 2 \pmod 3\), значит:

\[y = 2 + 3t\]

где \(t\) — любое целое число.

Подставим:

\[3x + 5(2 + 3t) = 10\]

\[3x + 10 + 15t = 10\]

\[3x = -15t\]

\[x = -5t\]

Ответ:

\[x = -5t, \quad y = 2 + 3t, \quad t \in \mathbb{Z}\]

0 0 Пожаловаться