1. log3(x+1) + log3(x+3) = 1
2. 2log2x - log2(3x-4) =1
3. 1/2log5 (x-4) + 1/2 log 5(2x-1) = log 5 3 (логарифм 3 по основанию 5)
числа после лог - основания
помогите пожалуйста решить

Рассмотрим решение каждого из данных уравнений подробно.

Задача 1: $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1$

1. Сначала применим свойство логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

   $$\log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$$

2. Теперь у нас есть уравнение $\log_3((x + 1)(x + 3)) = 1$. Для того чтобы избавиться от логарифма, преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $\log_a b = c \Rightarrow b = a^c$.

   $$(x + 1)(x + 3) = 3^1$$

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

   $$x^2 + 4x + 3 = 3$$

4. Переносим все в одну сторону уравнения:

   $$x^2 + 4x = 0$$

5. Решим полученное квадратное уравнение:

   $$x(x + 4) = 0$$

6. Отсюда $x = 0$ или $x = -4$.

7. Проверим найденные значения, подставляя их в исходное уравнение, чтобы они не делали логарифм неопределенным. Поскольку логарифм определен только для положительных значений, единственное допустимое значение $x = 0$, так как $x = -4$ делает аргумент логарифма отрицательным.

Ответ: $x = 0$.

Задача 2: $2\log_2 x - \log_2(3x - 4) = 1$

1. Начнем с упрощения, используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a(b^c)$:

   $$\log_2(x^2) - \log_2(3x - 4) = 1$$

2. Применим правило разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

   $$\log_2\left(\frac{x^2}{3x - 4}\right) = 1$$

3. Теперь избавимся от логарифма, используя определение логарифма:

   $$\frac{x^2}{3x - 4} = 2^1$$

4. Упростим выражение:

   $$x^2 = 2(3x - 4)$$ $$x^2 = 6x - 8$$

5. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

   $$x^2 - 6x + 8 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

   $$(x - 4)(x - 2) = 0$$ $$x = 4 \quad \text{или} \quad x = 2$$

7. Подставим значения обратно в логарифмы, чтобы убедиться, что они не делают аргумент отрицательным:

   • При $x = 4$: $3x - 4 = 8$ — подходит.
   • При $x = 2$: $3x - 4 = 2$ — подходит.

Ответ: $x = 4$ или $x = 2$.

Задача 3: $\frac{1}{2} \log_5 (x - 4) + \frac{1}{2} \log_5 (2x - 1) = \log_5 3$

1. Для начала упростим логарифмы. Вынесем множитель $\frac{1}{2}$ перед каждым логарифмом, используя свойство $c\cdot {\log }_{}$