Cos(a+b) и Cos(a-b), если sina= 8/17, cosb=3/5, "пи"/2<a<"пи" , 3пи/2<a<2пи

Для нахождения значений $\cos(a + b)$ и $\cos(a - b)$, воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами. У нас даны значения $\sin a = \frac{8}{17}$, $\cos b = \frac{3}{5}$, а также диапазоны для углов $a$ и $b$, из которых можно определить знаки синусов и косинусов.

Шаг 1: Определим значения $\cos a$ и $\sin b$

1. Найдём $\cos a$, используя основное тригонометрическое тождество:

   $$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

   Подставим $\sin a = \frac{8}{17}$:

   $$\cos^2 a + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1$$ $$\cos^2 a + \frac{64}{289} = 1$$ $$\cos^2 a = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$$ $$\cos a = \pm \frac{15}{17}$$

   Учитывая, что угол $a$ находится во второй четверти (так как $\frac{\pi}{2} < a < \pi$), где косинус отрицательный, получаем:

   $$\cos a = -\frac{15}{17}$$

2. Найдём $\sin b$ аналогичным образом:

   $$\cos^2 b + \sin^2 b = 1$$

   Подставим $\cos b = \frac{3}{5}$:

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2 b = 1$$ $$\frac{9}{25} + \sin^2 b = 1$$ $$\sin^2 b = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin b = \pm \frac{4}{5}$$

   Так как угол $b$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < b < 2\pi$), где синус отрицательный, то:

   $$\sin b = -\frac{4}{5}$$

Шаг 2: Найдём $\cos(a + b)$ и $\cos(a - b)$

Теперь воспользуемся формулами для косинуса суммы и разности углов:

1. Для $\cos(a + b)$:

   $$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b$$

   Подставим значения:

   $$\cos(a + b) = \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \frac{3}{5} - \frac{8}{17} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$$ $$= -\frac{45}{85} + \frac{32}{85}$$ $$= -\frac{45 - 32}{85} = -\frac{13}{85}$$

   Таким образом, $\cos(a + b) = -\frac{13}{85}$