упростить факториал 1/2!+2/3!+3/4!+...+2006/2007!

Рассмотрим сумму:

\[\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{2006}{2007!}\]

Общий член имеет вид:

\[\frac{k}{(k+1)!}\]

Преобразуем его:

\[\frac{k}{(k+1)!}=\frac{k+1-1}{(k+1)!}=\frac{k+1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\]

Тогда сумма превращается в телескопическую:

\[\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+...+\left(\frac{1}{2006!}-\frac{1}{2007!}\right)\]

Все промежуточные дроби сокращаются, остаётся:

\[1-\frac{1}{2007!}\]

Ответ: \(1-\frac{1}{2007!}\).

0 0 Пожаловаться