Задание:

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) ⁵√96m⁷n⁻¹², m≥0,m>0;

б) ⁴√625a⁴b⁵, a<0, b≥0.

корни до конца

Задание 1: Вынос множителя из-под знака корня

а) $\sqrt[5]{96m^7n^{-12}}$, где $m \geq 0$, $m > 0$

Чтобы вынести множитель из-под корня, нужно разделить число на такие множители, которые будут иметь целые степени, подходящие для извлечения корня.

1. Разделим подкоренное выражение на простые множители:

   $$96 = 2^5 \cdot 3$$

   Получается:

   $$96m^7n^{-12} = 2^5 \cdot 3 \cdot m^7 \cdot n^{-12}$$

2. Теперь выносим корень из каждого множителя, поочередно извлекая из корня целые степени:

   • Из $2^5$ можно извлечь $2^5 = (2^5)^{1/5} = 2$, т.к. степень 5 — это то, что нужно для пятого корня.
   • Из $m^7$ можно извлечь $m^5$, т.к. $7 = 5 + 2$, и оставшийся $m^2$ останется под корнем.
   • Из $n^{-12}$ можно извлечь $n^{-12} = (n^{-12})^{1/5} = n^{-2}$, т.к. $-12 \div 5 = -2$ (целая степень).

3. Запишем выражение с вынесенными частями:

   $$\sqrt[5]{96m^7n^{-12}} = 2m^5n^{-2}\sqrt[5]{3m^2n^3}$$

Ответ:

б) $\sqrt[4]{625a^4b^5}$, где $a < 0$, $b \geq 0$

1. Разделим подкоренное выражение:

   $$625 = 5^4$$

   Таким образом, подкоренное выражение:

   $$625a^4b^5 = 5^4 \cdot a^4 \cdot b^5$$

2. Извлекаем корень из каждого множителя:

   • Из $5^4$ извлекаем $5$, так как $5^4$ — это полная степень для четвёртого корня.
   • Из $a^4$ извлекаем $a$, т.к. степень 4 — это то, что нужно для четвёртого корня.
   • Из $b^5$ извлекаем $b$, так как $b^5 = b^4 \cdot b$, и $b^4$ извлекается полностью, а $b$ остаётся под корнем.

3. Запишем итоговый результат:

   $$\sqrt[4]{625a^4b^5} = 5ab\sqrt[4]{b}$$

Ответ: