2. а) Найдите первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени z и запишите коэффициент при 2: 1) (4 + z)⁶ 2) (2-z)⁶ b) Используя результаты предыдущих действий, найдите коэффициент при Z в биномиальном разложении [(4+z)(2-z)]⁶​

Для нахождения первых трех слагаемых в биномиальном разложении двух выражений, мы используем биномиальную теорему, которая гласит, что $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.

1. Для $(4 + z)^6$, первые три слагаемых:

   • При $k=0$, коэффициент равен $\binom{6}{0} \cdot 4^6 \cdot z^0 = 4096$.
   • При $k=1$, коэффициент равен $\binom{6}{1} \cdot 4^5 \cdot z^1 = 6144z$.
   • При $k=2$, коэффициент равен $\binom{6}{2} \cdot 4^4 \cdot z^2 = 3840z^2$.

2. Для $(2 - z)^6$, первые три слагаемых:

   • При $k=0$, коэффициент равен $\binom{6}{0} \cdot 2^6 \cdot (-z)^0 = 64$.
   • При $k=1$, коэффициент равен $\binom{6}{1} \cdot 2^5 \cdot (-z)^1 = -192z$.
   • При $k=2$, коэффициент равен $\binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot (-z)^2 = 240z^2$.

Теперь, используя эти результаты, найдем коэффициент при $z$ в биномиальном разложении $[(4+z)(2-z)]^6$. Это разложение равно произведению разложений $(4+z)^6$ и $(2-z)^6$, каждое из которых мы уже нашли. Коэффициент при $z$ в итоговом выражении будет равен сумме произведений коэффициентов при $z^0$ в одном выражении и при $z^1$ в другом, и наоборот. То есть, нам нужно сложить произведение коэффициентов при $z^0$ из $(4 + z)^6$ и при $z^1$ из $(2 - z)^6$, и произведение коэффициентов при $z^1$ из $(4 + z)^6$ и при $z^0$ из $(2 - z)^6$.

Следовательно, коэффициент при $z$ будет равен $4096 \cdot (-192) + 6144 \cdot 64$. Давайте рассчитаем этот результат. ​​

Коэффициент при $z$ в биномиальном разложении $[(4+z)(2-z)]^6$ равен $-393216$. ​​