1) log3(5x+3) = log3(7x+5)
2) log7(x-1) · log7x = log7x

Разберём оба уравнения подробно, шаг за шагом.

1) Уравнение:

Решение:

1. Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны аргументы (и при этом аргументы > 0), получаем:

2. Переносим всё с $x$ в одну сторону, константы — в другую:

3. Делим на -2:

4. Проверка области определения:

• Для $\log_3(5x + 3)$ нужно, чтобы $5x + 3 > 0 \Rightarrow 5(-1) + 3 = -2$, что не больше нуля.

• Для $\log_3(7x + 5)$ нужно $7x + 5 > 0 \Rightarrow 7(-1) + 5 = -2$, тоже не больше нуля.

Вывод: решения нет, так как найденное значение не удовлетворяет области определения логарифмов.

✅ Ответ: нет решений.

2) Уравнение:

Решение:

1. Вынесем $\log_7 x$ за скобку:

2. Получаем два возможных случая:

Случай 1:
$\log_7 x = 0 \Rightarrow x = 7^0 = 1$

• Проверка области определения: $\log_7(x-1)$ → $x-1 = 0$, что недопустимо, так как логарифм от 0 не существует.

• Значит, это не решение.

Случай 2:
$\log_7(x-1) - 1 = 0 \Rightarrow \log_7(x-1) = 1 \Rightarrow x-1 = 7^1 = 7 \Rightarrow x = 8$

• Проверка области определения:

  • $x > 0$ и $x-1 > 0$ → для $x = 8$ выполняется.

✅ Ответ: $x = 8$

Итоговые ответы:

1. $\log_3(5x + 3) = \log_3(7x + 5)$ → нет решений

2. $\log_7(x-1) \cdot \log_7 x = \log_7 x$ → x = 8