Подготовьте сообщение. Некоторые формулы сокращённого умножения были известны ещё 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Расскажите о том, как изображали эти формулы в «Началах» Евклида.

Формулы сокращённого умножения в «Началах» Евклида

Формулы сокращённого умножения были известны задолго до появления современной алгебраической символики. В «Началах» Евклида, созданных примерно в III веке до нашей эры, они изложены не с помощью буквенных равенств, а в геометрической форме. Главную роль здесь играют отрезки, квадраты и прямоугольники. То, что мы сейчас обозначаем буквами (a), (b), (a^2), (ab), Евклид представлял как длины и площади фигур.

Особенно важна вторая книга «Начал». Её иногда называют «геометрической алгеброй», хотя сам Евклид не пользовался понятием алгебры в современном смысле. Он говорил не «квадрат числа», а «квадрат, построенный на отрезке»; не «произведение (ab)», а «прямоугольник, заключённый между отрезками (a) и (b)». Поэтому формулы у него были одновременно и утверждениями о площадях.

Самый известный пример — современная формула

[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
]

У Евклида она соответствует предложению II.4 второй книги. Он рассматривал отрезок (AB), разделённый точкой (C) на два отрезка: (AC=a) и (CB=b). Затем на всём отрезке (AB) строился квадрат. Через точку деления проводились прямые, параллельные сторонам квадрата. В результате большой квадрат распадался на четыре части: квадрат со стороной (a), квадрат со стороной (b) и два равных прямоугольника со сторонами (a) и (b).

Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырёх фигур. В современных обозначениях это и записывается так:

[
(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.
]

Иными словами, формула не просто сообщалась, а была наглядно видна на чертеже: большой квадрат буквально состоял из двух меньших квадратов и двух одинаковых прямоугольников. Евклид формулировал это так: если прямая разделена на две части, то квадрат на всей прямой равен квадратам на её частях вместе с удвоенным прямоугольником, заключённым между этими частями.

Похожим способом в «Началах» изображалась и разность квадратов:

[
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
]

В предложении II.5 Евклид рассматривал отрезок, разделённый одновременно пополам и на две неравные части. Если половина отрезка равна (a), а расстояние между точками деления равно (b), то неравные части имеют длины (a-b) и (a+b). Он доказывал, что прямоугольник со сторонами (a-b) и (a+b), дополненный квадратом со стороной (b), равен квадрату со стороной (a). В современной записи:

[
(a-b)(a+b)+b^2=a^2.
]

Перенеся (b^2) в другую часть равенства, получаем формулу разности квадратов.

В предложениях II.9 и II.10 содержатся геометрические аналоги ещё одной важной формулы:

[
(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2.
]

Евклид показывал, что сумма квадратов, построенных на двух неравных частях отрезка, равна удвоенной сумме квадратов на половине исходного отрезка и на разности между точками деления. Это равенство также доказывалось разрезанием и сопоставлением площадей фигур.

Таким образом, в «Началах» Евклида формулы сокращённого умножения существовали как геометрические теоремы. Вместо преобразования буквенных выражений древнегреческий математик строил квадрат или прямоугольник, делил его на части и сравнивал площади. Современная алгебраическая запись делает эти формулы короткими и удобными, но их геометрический смысл особенно ясно раскрывается именно в доказательствах Евклида.