1. Решите систему уравнений:
x² - y² = 5
{
xy = 6

Для решения системы уравнений:

1. Используем метод подстановки или метод сложения/вычитания. Мы видим, что первое уравнение можно переписать как разность квадратов:

   $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

   Таким образом, первое уравнение становится:

   $$(x - y)(x + y) = 5$$

   Второе уравнение — это произведение $x$ и $y$, то есть:

   $$xy = 6$$

2. Попробуем выразить одну переменную через другую. Из второго уравнения можем выразить $y$ через $x$:

   $$y = \frac{6}{x}$$

3. Подставим это выражение во второе уравнение. Подставим $y = \frac{6}{x}$ в первое уравнение:

   $$(x - \frac{6}{x})(x + \frac{6}{x}) = 5$$

   Теперь раскроем скобки:

   $$(x - \frac{6}{x})(x + \frac{6}{x}) = x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = x^2 - \frac{36}{x^2}$$

   Таким образом, получаем:

   $$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$$

4. Умножим обе стороны на $x^2$, чтобы избавиться от дроби.

   $$x^4 - 36 = 5x^2$$

   Приводим уравнение к стандартному виду:

   $$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$

5. Преобразуем уравнение. Пусть $z = x^2$, тогда уравнение примет вид:

   $$z^2 - 5z - 36 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

   Тогда корни уравнения:

   $$z = \frac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения для $z$:

   $$z_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9, \quad z_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$$

   Поскольку $z = x^2$, то $z$ не может быть отрицательным. Следовательно, $z = 9$, и $x^2 = 9$, то есть $x = \pm 3$.

7. Найдем значения для $y$. Теперь, зная $x = 3$ или $x = -3$, подставим в уравнение $xy = 6$, чтобы найти $y$.

   • Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$.
   • Если $x = -3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$.

8. Ответ. Таким образом, система уравнений имеет два решения:

   $$(x, y) = (3, 2) \quad \text{или} \quad (x, y) = (-3, -2)$$