Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 метров, а в каждую следующую проходило на 6 метров больше,чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся?

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Расстояние между точками $S = 390 \, \text{м}$.
2. Первое тело движется с ускорением: в первую секунду проходит $6 \, \text{м}$, а в каждую следующую секунду — на $6 \, \text{м}$ больше.
3. Второе тело движется равномерно с $v = 12 \, \text{м/с}$ и начинает движение спустя $t = 5 \, \text{с}$ после первого.

Нужно найти момент времени, через сколько секунд после начала движения первого тела они встретятся.

Шаг 1. Найдем уравнение движения первого тела.

Путь, пройденный первым телом за $t$ секунд, можно вычислить как сумму элементов арифметической прогрессии:

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна:

где:

• $n = t$ — число секунд,
• $a_1 = 6$,
• $a_n = 6t$ — последний член прогрессии.

Подставим:

Таким образом, уравнение пути первого тела:

Шаг 2. Уравнение движения второго тела.

Второе тело начинает движение через 5 секунд. За $t$ секунд с начала его движения оно пройдет путь:

где $t \geq 5$ (считаем время с момента старта первого тела).

Шаг 3. Уравнение встречи.

Тела встретятся, когда сумма пройденных ими путей станет равна $390 \, \text{м}$:

Подставим выражения для $S_1(t)$ и $S_2(t)$:

Упростим уравнение:

Шаг 4. Решим квадратное уравнение.

Разделим уравнение на 3:

Решим его по формуле корней квадратного уравнения:

где:

• $a = 1$,
• $b = 5$,
• $c = -150$.

Подставим:

Так как отрицательное значение времени не имеет смысла, $t = 10$.

Шаг 5. Проверка.

Через 10 секунд:

1. Путь первого тела: