Решите задачу.
Катер проплыл 24 км против течения реки и 27 км по озеру, потратив на весь
путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки
составляет 2 км/ч.

Решим задачу, обозначив переменные и разобрав каждый этап движения катера.

Обозначения:

• $v$ — собственная скорость катера (км/ч), которую нужно найти.
• $v_{\text{реки}} = 2$ км/ч — скорость течения реки.
• $t$ — общее время в пути, равное 3 часа.
• Пройденное расстояние:
  • Против течения: 24 км.
  • По озеру (стоячей воде): 27 км.

Уравнения:

1. Скорость катера против течения реки: Против течения реки катер движется со скоростью $v - v_{\text{реки}}$, так как течение замедляет катер. Время, затраченное на этот участок пути, можно выразить как:

   $$t_1 = \frac{24}{v - 2}$$

2. Скорость катера по озеру: По озеру катер движется с собственной скоростью $v$, так как нет течения. Время для этого участка пути:

   $$t_2 = \frac{27}{v}$$

3. Общее время: Условие задачи утверждает, что общее время пути равно 3 часам:

   $$t_1 + t_2 = 3$$

Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

Решение уравнения:

Приведем дроби к общему знаменателю $(v - 2)v$:

Раскроем скобки в числителе:

Сложим подобные члены в числителе:

Умножим обе стороны уравнения на $(v - 2)v$, чтобы избавиться от знаменателя (при условии $v \neq 0$ и $v \neq 2$):

Раскроем скобки справа:

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

Упростим:

Решение квадратного уравнения:

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Найдём корни:

Получаем два корня:

Выбор решения:

Корень $v_2 = 1$ не подходит, так как $v > v_{\text{реки}} = 2$. Значит, собственная скорость катера:

Ответ:

Собственная скорость катера составляет 18 км/ч.