Свойства секущей и касательной проведенных из одной точки? в учебнике нет

Секущая и касательная, проведенные из одной точки к окружности, обладают интересными и важными свойствами, которые используются в геометрии. Рассмотрим их подробно.

Основные определения

1. Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания.
2. Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Когда из одной точки вне окружности (например, точки $P$) проводятся касательная и секущая, возникает несколько полезных геометрических отношений.

Свойства

1. Равенство отрезков касательной, проведенных из одной точки: Если из точки вне окружности проведены две касательные к окружности, то их длины от точки до точек касания равны.
   Формально: если $PA$ и $PB$ — касательные из точки $P$, то:

   $$PA = PB$$

   Это свойство следует из симметрии окружности и используется в задачах на доказательство.

2. Связь между секущей и касательной (теорема о секущей и касательной): Если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная, то произведение длин секущей на её внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
   Формула:

   $$PC^2 = PA \cdot PB$$

   где:

   • $PC$ — длина касательной;
   • $PA$ и $PB$ — отрезки секущей (внешний и полный, соответственно).

   Пример использования: Пусть длина касательной $PC = 5$, а отрезки секущей $PA = 3$ (внешний) и $PB = 7$ (весь отрезок). Тогда можно проверить равенство:

   $$5^2 = 3 \cdot 7$$

   Уравнение выполняется, что подтверждает теорему.

3. Угол между касательной и радиусом: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

   $$\angle OTP = 90^\circ$$

   где $O$ — центр окружности, $T$ — точка касания, а $P$ — точка вне окружности.

4. Угол между касательной и секущей: Угол между касательной и секущей равен углу между секущей и диаметром, проведённым через точку касания.

Примеры из задач

1. Задачи на равенство касательных: Если из одной точки вне окружности проведены две касательные, то часто требуется доказать равенство их длин или найти длину одной из них, зная другую.

2. Задачи с теоремой о касательной и секущей: Данный принцип часто используется для вычислений в задачах с окружностью, когда известны длины отрезков.

3. Доказательство свойств треугольников: Например, если соединить точку касания с центром окружности, можно получить равнобедренный треугольник, что используется в решении задач.

Эти свойства играют важную роль в геометрии и позволяют решать множество задач, связанных с окружностью и её элементами.