Докажите,что верно неравенство √37+√35<12

Докажем, что неравенство $\sqrt{37} + \sqrt{35} < 12$ верно.

1. Установим верхнюю границу для корней

Корень из числа увеличивается медленнее, чем само число. Рассмотрим приближённые значения:

• $\sqrt{37}$ находится между $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{49} = 7$. Так как 37 ближе к 36, $\sqrt{37}$ чуть больше 6, но меньше 6.1.
• $\sqrt{35}$ находится между $\sqrt{25} = 5$ и $\sqrt{36} = 6$. Так как 35 ближе к 36, $\sqrt{35}$ чуть меньше 6, но больше 5.9.

Следовательно:

2. Проверим с более точными приближениями

Для точности приближим корни:

• $\sqrt{37} \approx 6.08$ (вычислено методом приближения или таблицей).
• $\sqrt{35} \approx 5.92$.

Сумма:

Однако $\sqrt{37} + \sqrt{35}$ чуть меньше 12, так как использованные приближения немного завышены.

3. Строгое доказательство через возведение в квадрат

Возведём обе стороны неравенства $\sqrt{37} + \sqrt{35} < 12$ в квадрат, чтобы избавиться от корней:

Раскрываем левую часть:

Правая часть:

Подставим:

Считаем сумму:

Вычитаем 72:

Делим на 2:

Теперь найдём произведение $37 \cdot 35$:

Найдём корень из $1295$:

И действительно: