Дан многочлен f(x;y)= 2x^2(-1)y-7yx^2+2xy^2+5-3yxy-11y^3+(x+y)yx-2xyx а) Приведите данный многочлен к стандартному виду.
б) Установите, является ли данный многочлен однородным.
в) Если многочлен является однородным, то определите его степень.

Давайте разберём этот многочлен пошагово.

Заданный многочлен:

$f(x, y) = 2x^2(-1)y - 7yx^2 + 2xy^2 + 5 - 3yxy - 11y^3 + (x + y)yx - 2xyx.$

а) Приведём многочлен к стандартному виду

Шаг 1. Раскроем скобки и упростим выражения.

1. $2x^2(-1)y = -2x^2y$;
2. $-7yx^2$ остаётся без изменений;
3. $2xy^2$ остаётся без изменений;
4. $5$ остаётся без изменений;
5. $-3yxy$ можно записать как $-3xy^2$ (перестановка множителей);
6. $-11y^3$ остаётся без изменений;
7. $(x + y)yx = xyx + y^2x = x^2y + xy^2$ (раскрыли скобки и перемножили);
8. $-2xyx = -2x^2y$.

Шаг 2. Подставим всё вместе:

Шаг 3. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

1. Члены с $x^2y$: $-2x^2y - 7x^2y + x^2y - 2x^2y = -10x^2y$;
2. Члены с $xy^2$: $2xy^2 - 3xy^2 + xy^2 = 0$ (они сокращаются);
3. Остальные члены: $5 - 11y^3$.

Итог:

Это стандартный вид многочлена.

б) Является ли многочлен однородным

Определение: Многочлен называется однородным, если все его одночлены имеют одну и ту же сумму степеней переменных (степень одночлена).

Рассмотрим одночлены итогового многочлена:

1. $-10x^2y$: степень $2 + 1 = 3$;
2. $5$: степень $0$ (нет переменных);
3. $-11y^3$: степень $3$.

Поскольку одночлен $5$ имеет степень $0$, а остальные $3$, многочлен не является однородным.

в) Определение степени, если многочлен однородный

Так как данный многочлен не является однородным, его степень как однородного многочлена определить нельзя. Однако общая степень многочлена определяется как максимальная степень среди всех одночленов.

• Степени одночленов: $3$ (у $-10x^2y$ и $-11y^3$) и $0$ (у $5$).
• Максимальная степень: $3$.

Итак, степень данного многочлена равна 3.