От пристани A вниз по течению реки отошла лодка,собственная скорость которой 12 км/ч , а через 1 час из A вверх по течению отправился катер, собственная скорость которого 18 км/ч. Найдите скорость течения реки, если через 3 часа после выхода лодки расстояние между лодкой и катером составляло 75 км

Решение

Для решения задачи введем обозначения:

• $v_{\text{лодки}} = 12 \, \text{км/ч}$ — собственная скорость лодки,
• $v_{\text{катера}} = 18 \, \text{км/ч}$ — собственная скорость катера,
• $v_{\text{течения}}$ — скорость течения реки (в км/ч), которую нужно найти.

Шаг 1: Определим скорости лодки и катера относительно берега

• Лодка движется вниз по течению, её скорость относительно берега будет равна: $$v_{\text{лодки относительно берега}} = v_{\text{лодки}} + v_{\text{течения}}$$
• Катер движется вверх по течению, его скорость относительно берега: $$v_{\text{катера относительно берега}} = v_{\text{катера}} - v_{\text{течения}}$$

Шаг 2: Найдем время движения лодки и катера

• Лодка отплыла на 1 час раньше катера. Значит, к моменту их "замера расстояния" (через 3 часа после выхода лодки) лодка двигалась: $$t_{\text{лодки}} = 3 \, \text{ч}$$
• Катер начал движение на час позже лодки, поэтому он двигался: $$t_{\text{катера}} = 3 - 1 = 2 \, \text{ч}$$

Шаг 3: Определим пройденное расстояние

• Расстояние, которое преодолела лодка за 3 часа, будет: $$S_{\text{лодки}} = v_{\text{лодки относительно берега}} \cdot t_{\text{лодки}} = (12 + v_{\text{течения}}) \cdot 3$$
• Расстояние, которое преодолел катер за 2 часа, будет: $$S_{\text{катера}} = v_{\text{катера относительно берега}} \cdot t_{\text{катера}} = (18 - v_{\text{течения}}) \cdot 2$$

Шаг 4: Расстояние между лодкой и катером

Через 3 часа после выхода лодки расстояние между ними составило 75 км. Лодка находилась дальше по течению, поэтому:

Подставим выражения для $S_{\text{лодки}}$ и $S_{\text{катера}}$:

Шаг 5: Упростим уравнение

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Шаг 6: Найдем $v_{\text{течения}}$

Ответ:

Скорость течения реки составляет 15 км/ч.