Какие значения функции y=sin2x принимает на [0;2п] ровно один раз?

Рассмотрим, какие значения функция $y = \sin 2x$ принимает на интервале $[0; 2\pi]$ ровно один раз.

1. Свойства функции $y = \sin 2x$

Функция $\sin 2x$ — это синусоида, которая имеет удвоенную частоту по сравнению с $\sin x$. Период функции $\sin 2x$ равен $\pi$. За интервал $[0; 2\pi]$ функция совершает два полных колебания.

• На каждом периоде $[0; \pi]$, функция $\sin 2x$:
  • Поднимается от 0 до 1,
  • Убывает от 1 до -1,
  • Возвращается к 0.
• Следовательно, за $[0; 2\pi]$, $y = \sin 2x$ дважды принимает каждое значение из интервала $[-1; 1]$.

2. Исключение — граничные точки

На краях каждого периода ($x = 0, \pi, 2\pi$), функция равна 0. Это ключевой момент:

• В $x = 0$ и $x = 2\pi$, значение $y = 0$ достигается дважды.
• Однако на каждом отдельном периоде $[0; \pi]$ и $[\pi; 2\pi]$, все остальные значения из интервала $(-1; 1)$ принимаются ровно один раз при увеличении аргумента $x$ в каждом из двух полупериодов.

3. Ответ на вопрос

На отрезке $[0; 2\pi]$, ровно один раз значение достигается для:

• Всех значений $y$ из интервала $(-1; 1)$, исключая 0. Значение $y = 0$ достигается дважды (в $x = 0$, $x = 2\pi$).

Итак, $y = \sin 2x$ на $[0; 2\pi]$ принимает ровно один раз значения из множества $(-1; 1) \setminus \{0\}$.