Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/а(2)+2 + 8/а(4)-4 - 2/а(2)-2 отрицательно.

Рассмотрим выражение:

Нам нужно доказать, что оно всегда отрицательно для всех допустимых значений переменной $a$, при которых выражение имеет смысл.

1. Приведем подобные элементы:

Вначале упростим выражение, сгруппировав все элементы, содержащие $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{a^4}$.

Теперь упростим каждую группу:

• $\frac{1}{a^2} - \frac{2}{a^2} = -\frac{1}{a^2}$,
• $2 - 4 - 2 = -4$.

Таким образом, выражение принимает вид:

2. Анализ знака выражения:

Теперь рассмотрим, что происходит с выражением для различных значений $a$.

• $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{8}{a^4}$ — это положительные выражения для всех $a \neq 0$, так как дроби вида $\frac{1}{x^2}$ всегда положительны при $x \neq 0$.

Теперь перепишем выражение для удобства:

Это выражение имеет следующий вид для $a \neq 0$.

3. Анализ при больших и малых значениях $a$:

• Когда $a \to \infty$ или $a \to -\infty$, значения $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{8}{a^4}$ стремятся к нулю, и тогда выражение приближается к $-4$, которое уже отрицательно.
• Когда $a \to 0$, то $\frac{1}{a^2} \to \infty$ и $\frac{8}{a^4} \to \infty$, но поскольку в выражении стоит минус перед $\frac{1}{a^2}$, доминирующим станет первый член, и выражение также будет отрицательным.

4. Доказательство, что выражение всегда отрицательно:

Для всех допустимых значений $a$ (кроме нуля) сумма двух положительных слагаемых $\frac{8}{a^4}$ и $\frac{1}{a^2}$ вкупе с минусами перед ними всегда остается меньше 4, поскольку $\frac{8}{a^4}$ растет медленно по сравнению с $\frac{1}{a^2}$, и это приводит к тому, что выражение всегда остается меньше 0 при любых $a \neq 0$.

Итак, мы показали, что выражение для всех допустимых значений переменной