Площадь прямоугольника 270см2. если одну его из сторону увеличить на 6см , а другую уменьшить на 1,5 см, то получится равновеликий ему прямоугольник. Найдите стороны первого прямоугольника.

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Обозначим стороны первого прямоугольника: Пусть длина одной стороны первого прямоугольника будет $x$ см, а длина другой стороны — $y$ см.

   Из условия задачи известно, что площадь первого прямоугольника равна 270 см², то есть:

   $$x \cdot y = 270$$

2. Изменение сторон: Нам сказано, что если одну из сторон увеличить на 6 см, а другую уменьшить на 1,5 см, то получим прямоугольник с такой же площадью, как и у первого.

   То есть новая длина одной стороны будет $x + 6$ см, а другой стороны — $y - 1,5$ см. Площадь этого нового прямоугольника будет равна:

   $$(x + 6) \cdot (y - 1,5) = 270$$

   Таким образом, у нас есть система уравнений:

   $$1) \quad x \cdot y = 270$$ $$2) \quad (x + 6) \cdot (y - 1,5) = 270$$

3. Раскроем второе уравнение: Раскроем скобки во втором уравнении:

   $$(x + 6)(y - 1,5) = x \cdot y - 1,5x + 6y - 9$$

   Подставим в это уравнение $x \cdot y = 270$ (из первого уравнения):

   $$270 - 1,5x + 6y - 9 = 270$$

   Упростим:

   $$-1,5x + 6y - 9 = 0$$

   Добавим 9 к обеим частям:

   $$-1,5x + 6y = 9$$

   Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

   $$-3x + 12y = 18$$

   Разделим обе части на 3:

   $$-x + 4y = 6$$

   Это второе уравнение:

   $$3) \quad -x + 4y = 6$$

4. Решаем систему уравнений: У нас теперь есть система двух уравнений:

   $$1) \quad x \cdot y = 270$$ $$3) \quad -x + 4y = 6$$

   Из третьего уравнения выразим $x$ через $y$:

   $$x = 4y - 6$$

   Подставим это выражение в первое уравнение:

   $$(4y - 6) \cdot y = 270$$

   Раскроем скобки:

   $$4y^2 - 6y = 270$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$4y^2 - 6y - 270 = 0$$

   Разделим на 2 для упрощения:

   $$2y^2 - 3y - 135 = 0$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

5. Вычисляем дискриминант: Для уравнения $2y^2 - 3y - 135 = 0$ дискриминант будет:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-135) = 9 + 1080 = 1089$$

   Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

   $$\sqrt{1089} = 33$$

6. Находим корни уравнения: Теперь найдем корни уравнения по формуле:

   $$y = \frac{-(-3) \pm 33}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 33}{4}$$

   Получаем два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{3 + 33}{4} = \frac{36}{4} = 9$$ $$y_2 = \frac{3 - 33}{4} = \frac{-30}{4} = -7,5 \quad (\text{не может быть отрицательным, так как длина стороны положительна})$$

   Таким образом, $y = 9$.

7. Находим $x$: Теперь, зная $y = 9$, подставим это значение в выражение для $x$:

   $$x = 4y - 6 = 4 \cdot 9 - 6 = 36 - 6 = 30$$

Таким образом, стороны первого прямоугольника: $x = 30$ см и $y = 9$ см.