Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:-486,-162,-54... Найдите сумму первых 7

Ответы на вопрос

Отвечает Чан Гаяна.

Задача заключается в нахождении суммы первых 7 членов геометрической прогрессии, если известны первые три её члена: -486, -162, -54.

Шаг 1: Определение первого члена и знаменателя прогрессии.

Первый член геометрической прогрессии — это $a_1 = -486$ .

Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ используем два соседних члена прогрессии. Из условия задачи:

a_2 = a_1 \cdot q = -162,

a_3 = a_2 \cdot q = -54.

Найдем знаменатель $q$ из соотношения между $a_1$ и $a_2$ :

q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-162}{-486} = \frac{162}{486} = \frac{1}{3}.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$ .

Шаг 2: Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии определяется по формуле:

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1),

где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.

Шаг 3: Подставим известные значения.

Для нахождения суммы первых 7 членов прогрессии подставляем $a_1 = -486$ , $q = \frac{1}{3}$ и $n = 7$ в формулу:

S_7 = -486 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^7}{1 - \frac{1}{3}}.

Упростим знаменатель:

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Теперь вычислим степень:

\left( \frac{1}{3} \right)^7 = \frac{1}{2187}.

Подставим в формулу для суммы:

S_7 = -486 \cdot \frac{1 - \frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}} = -486 \cdot \frac{\frac{2187 - 1}{2187}}{\frac{2}{3}} = -486 \cdot \frac{2186}{2187} \cdot \frac{3}{2}.

Упростим:

S_7 = -486 \cdot \frac{2186}{2187} \cdot \frac{3}{2} = -486 \cdot \frac{6560}{4374}.

Умножим:

S_7 = -486 \cdot 1.5 = -729.

Ответ: Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна $-729$ .

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии:-486,-162,-54... Найдите сумму первых 7 ее членов.