Три семьи, в каждой из которых три человека, пришли в кинотеатр. Сколькими способами они могут расположиться в ряду с девятью креслами так, чтобы члены каждой семьи сидели подряд?

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Рассмотрим каждую семью как одну "группу". Каждая семья состоит из трёх человек, и условие задачи требует, чтобы члены каждой семьи сидели подряд. Таким образом, мы можем представить каждую семью как один блок, который будет занимать 3 кресла. Итак, у нас есть три таких "блока" — по одному для каждой семьи.

2. Расположение "блоков" в ряду. Нам нужно разместить три таких блока в ряду из девяти кресел. Поскольку блоки друг от друга не могут разделяться, то фактически это задача о размещении трёх объектов (семейных блоков) в девяти креслах. Число способов расположить эти блоки — это количество перестановок трёх блоков, что равно $3!$ (факториал от 3).

   $$3! = 6$$

3. Расположение членов каждой семьи внутри их блока. Внутри каждого блока члены семьи могут сидеть в любом порядке. Поскольку в каждой семье три человека, то для каждой семьи существует $3!$ способов расположить членов внутри её блока.

   $$3! = 6$$

   Для трёх семей будет $3!$ способов для первой семьи, $3!$ для второй и $3!$ для третьей. Поскольку для каждой семьи такие способы независимы, то общее количество способов расположить членов всех семей внутри их блоков будет равно:

   $$3! \times 3! \times 3! = 6 \times 6 \times 6 = 216$$

4. Общее количество способов. Теперь мы можем посчитать общее количество способов, которое будет равно произведению количества способов расположить блоки и количества способов для расположения членов внутри блоков:

   $$3! \times 3! \times 3! = 6 \times 6 \times 6 = 216$$

   Умножаем это на количество способов расположить блоки:

   $$3! = 6$$

   Общее количество способов равно:

   $$6 \times 216 = 1296$$

Ответ: Три семьи могут расположиться в ряду девяти кресел 1296 способами, если члены каждой семьи сидят подряд.