Найдите наименьшее значение функции y=-5cos (4x-p/3) Напишите пожалуйста каждое действие, что бы разобраться

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = -5 \cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)$, давайте пошагово разберём, как это сделать.

1. Изучим структуру функции

Функция имеет вид:

Это трансформированная косинусоидальная функция, где:

• амплитуда $A = -5$,
• фаза $\phi = 4x - \frac{\pi}{3}$,
• коэффициент перед косинусом $4$ влияет на период функции.

2. Характеристики стандартной косинусной функции

Косинусная функция $\cos \theta$ имеет следующие свойства:

• Она колеблется от -1 до 1: $\cos \theta \in [-1, 1]$.
• Максимальное значение косинуса равно 1, а минимальное -1.

3. Разберём коэффициент перед косинусом

В нашем выражении $y = -5 \cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)$ есть множитель $-5$. Это означает, что:

• Когда косинус имеет максимальное значение 1, $y$ будет равно $-5 \times 1 = -5$.
• Когда косинус имеет минимальное значение -1, $y$ будет равно $-5 \times (-1) = 5$.

Таким образом, функция $y$ будет колебаться от -5 до 5.

4. Найдём наименьшее значение

Найменьшее значение функции будет достигаться, когда $\cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) = 1$, потому что $-5 \times 1 = -5$ — это минимальное значение, которое может принимать функция $y$.

5. Найдём точку, в которой $\cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right) = 1$

Для того чтобы косинус был равен 1, аргумент косинуса должен быть кратен $2\pi$. То есть:

Решим это уравнение для $x$:

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ будет равно $-5$, когда $x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$, где $k$ — целое число.

Ответ:

Наименьшее значение функции $y = -5 \cos \left( 4x - \frac{\pi}{3} \right)$ равно $-5$.