Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км.ч большей скорости пешехода. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта А.

Для решения задачи можно использовать основное уравнение движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

1. Дано:

   • Расстояние между пунктами А и В — 34 км.
   • Пешеход и велосипедист встретились в 10 км от пункта А.
   • Пешеход вышел из пункта А, и через 30 минут (0.5 часа) навстречу ему выехал велосипедист.
   • Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода.
   • Нужно найти скорость велосипедиста.

2. Обозначим:

   • Пусть скорость пешехода равна $v_p$ км/ч.
   • Тогда скорость велосипедиста будет $v_p + 8$ км/ч.

3. Время до встречи: Пешеход шел 0.5 часа до того, как велосипедист начал свой путь. После этого они оба двигались навстречу друг другу до встречи.

   Допустим, что после начала движения велосипедиста оба встретились через $t$ часов. Тогда общее время, которое пешеход потратил на путь до встречи, равно $t + 0.5$ часа.

4. Расстояние, которое прошел пешеход: Пешеход прошел расстояние $10$ км от пункта А до точки встречи. За время $t + 0.5$ его скорость была $v_p$, то есть:

   $$10 = v_p \cdot (t + 0.5).$$

   Из этого уравнения можно выразить $t$:

   $$t = \frac{10}{v_p} - 0.5.$$

5. Расстояние, которое проехал велосипедист: Велосипедист поехал на встречу с пешеходом на расстояние $34 - 10 = 24$ км. Его скорость $v_p + 8$, и он ехал в течение времени $t$ часов, то есть:

   $$24 = (v_p + 8) \cdot t.$$

   Подставим выражение для $t$ из первого уравнения:

   $$24 = (v_p + 8) \cdot \left( \frac{10}{v_p} - 0.5 \right).$$

6. Решаем уравнение: Раскроем скобки:

   $$24 = (v_p + 8) \cdot \frac{10}{v_p} - (v_p + 8) \cdot 0.5.$$

   Упростим каждую часть:

   $$24 = \frac{10(v_p + 8)}{v_p} - 0.5(v_p + 8).$$ $$24 = \frac{10v_p + 80}{v_p} - 0.5v_p - 4.$$

   Приведем к общему знаменателю в первой части:

   $$24 = \frac{10v_p + 80}{v_p} - 0.5v_p - 4.$$

   Умножим все на $v_p$, чтобы избавиться от дробей:

   $$24v_p = 10v_p + 80 - 0.5v_p^2 - 4v_p.$$

   Приводим подобные:

   $$24v_p = 6v_p + 80 - 0.5v_p^2.$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$0.5v_p^2 - 18v_p + 80 = 0.$$

   Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

   $$v_p^2 - 36v_p + 160 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160 = 1296 - 640 = 656.$$

   Корни уравнения:

   $$v_p = \frac{36 \pm \sqrt{656}}{2} = \frac{36 \pm 25.61}{2}.$$