При каких значениях переменной x имеет смысл выражение √(x−7)(x+3)?

Выбери правильный вариант ответа:
−3≤x≤7
−3 x≤−3,x≥7
x<−3,x>7

Для того чтобы выражение $\sqrt{(x - 7)(x + 3)}$ имело смысл, подкоренное выражение $(x - 7)(x + 3)$ должно быть неотрицательным, то есть $(x - 7)(x + 3) \geq 0$.

Давайте разберемся, при каких значениях $x$ это условие выполняется.

1. Найдем нули выражения. Для этого приравняем каждую скобку к нулю:
   • $x - 7 = 0$ → $x = 7$,
   • $x + 3 = 0$ → $x = -3$.

Таким образом, точки $x = -3$ и $x = 7$ являются корнями выражения $(x - 7)(x + 3)$.

2. Исследуем знак выражения в интервалах, образующихся этими точками:

   • При $x < -3$ (например, $x = -4$): $(x - 7) < 0$, $(x + 3) < 0$, значит, произведение $(x - 7)(x + 3) > 0$.
   • При $-3 < x < 7$ (например, $x = 0$): $(x - 7) < 0$, $(x + 3) > 0$, значит, произведение $(x - 7)(x + 3) < 0$.
   • При $x > 7$ (например, $x = 8$): $(x - 7) > 0$, $(x + 3) > 0$, значит, произведение $(x - 7)(x + 3) > 0$.

3. Что мы получили?

   • Выражение $(x - 7)(x + 3)$ неотрицательно (больше или равно нулю) при $x \leq -3$ и $x \geq 7$. То есть выражение имеет смысл, когда $x \in (-\infty, -3] \cup [7, +\infty)$.

Итак, правильный вариант ответа: $x \leq -3$ или $x \geq 7$, то есть второй вариант: x ≤ −3, x ≥ 7.