От пристани по течению реки отправились на лодке группа туристов, рассчитывая вернуться через 4 часа. Скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, а скорость течения - 2 км/ч. На какое наибольшее расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят перед возвращением сделать привал на 2 часа?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо разобрать ситуацию и понять, как скорость лодки и течения влияют на путешествие туристов.

1. Данные задачи:

   • Скорость лодки в стоячей воде = 10 км/ч.
   • Скорость течения реки = 2 км/ч.
   • Время, отведенное на путешествие туда и обратно, равно 4 часа.
   • Время на привал = 2 часа.

   Таким образом, время в пути (включая привал) составит 4 часа, из которых 2 часа уйдут на привал, а оставшиеся 2 часа — на путешествие туда и обратно.

2. Определение скорости лодки:

   • Когда лодка идет по течению (вниз по реке), её скорость будет равна скорости лодки в стоячей воде плюс скорость течения: $$V_{\text{вниз}} = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч}.$$
   • Когда лодка идет против течения (вверх по реке), её скорость будет равна скорости лодки в стоячей воде минус скорость течения: $$V_{\text{вверх}} = 10 - 2 = 8 \text{ км/ч}.$$

3. Время в пути: Пусть туристы отплывают на расстояние $x$ километров от пристани. Тогда время, которое они потратят на путешествие туда и обратно, можно разделить на две части:

   • Время в пути по течению (вниз по реке) на расстояние $x$ км: $$t_{\text{вниз}} = \frac{x}{12}.$$
   • Время в пути против течения (вверх по реке) на такое же расстояние $x$ км: $$t_{\text{вверх}} = \frac{x}{8}.$$

   Общее время в пути туда и обратно будет равно сумме этих времен:

   $$t_{\text{общ}} = t_{\text{вниз}} + t_{\text{вверх}} = \frac{x}{12} + \frac{x}{8}.$$

4. Условие на время: Общее время в пути должно составить 2 часа (время на путешествие туда и обратно, так как 2 часа уходят на привал). Получаем уравнение:

   $$\frac{x}{12} + \frac{x}{8} = 2.$$

5. Решение уравнения: Приведем дроби к общему знаменателю (24):

   $$\frac{x}{12} = \frac{2x}{24}, \quad \frac{x}{8} = \frac{3x}{24}.$$

   Подставляем в уравнение:

   $$\frac{2x}{24} + \frac{3x}{24} = 2.$$

   Это упрощается до:

   $$\frac{5x}{24} = 2.$$

   Умножим обе стороны на 24:

   $$5x = 48.$$

   Разделим на 5:

   $$x = \frac{48}{5} = 9,6 \text{ км}.$$

Таким образом, туристы могут отплыть на максимальное расстояние 9,6 км от пристани, если они хотят сделать привал на 2 часа и успеть вернуться за 4 часа.