Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=6cos^2 x-6sin^2x+3

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = 6\cos^2x - 6\sin^2x + 3$, нам сначала нужно упростить данную функцию, используя тригонометрические тождества. Затем мы найдем её производную, чтобы определить критические точки, в которых функция достигает своих экстремальных значений.

1. Упрощение функции: Прежде всего, используем тождество $\cos^2x - \sin^2x = \cos(2x)$. Таким образом, функция упрощается до $y = 6\cos(2x) + 3$.

2. Нахождение производной: Чтобы найти экстремальные значения функции, найдем её производную. Производная функции $y = 6\cos(2x) + 3$ равна $y' = -12\sin(2x)$.

3. Определение критических точек: Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, уравнение $-12\sin(2x) = 0$ дает нам критические точки. Решая это уравнение, мы получаем $2x = n\pi$, где $n$ - целое число. Следовательно, $x = \frac{n\pi}{2}$.

4. Определение экстремальных значений: Теперь подставим полученные критические точки в исходную функцию $y = 6\cos(2x) + 3$, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения.

   • Когда $x = \frac{n\pi}{2}$, $\cos(2x)$ будет равно 1 или -1, в зависимости от значения $n$.
   • Если $\cos(2x) = 1$, $y = 6 \times 1 + 3 = 9$.
   • Если $\cos(2x) = -1$, $y = 6 \times -1 + 3 = -3$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 9, а наименьшее значение равно -3. Эти значения достигаются на различных интервалах $x$, в зависимости от значения $n$.