В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB=2, BC=21, CD=18,AD=11/AC=√445
а) Дж-те, что около четырехугольника ABCD можно описать окр-ть.
б) Найдите угол между диагоналями.

Решение задачи

Условие задачи:

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ со сторонами:

• $AB = 2$,
• $BC = 21$,
• $CD = 18$,
• $AD = 11$, а диагональ $AC = \sqrt{445}$.

Необходимо:

1. Проверить, можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$.
2. Найти угол между диагоналями $AC$ и $BD$.

Часть а: Проверка описанности окружности

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, если сумма длин его противоположных сторон равна:

Подставим данные:

Вывод: Так как $AB + CD \neq AD + BC$, то около четырёхугольника $ABCD$ нельзя описать окружность.

Часть б: Найдём угол между диагоналями $AC$ и $BD$

Для нахождения угла между диагоналями воспользуемся скалярным произведением вектора:

где:

• $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — диагональные векторы,
• $|\vec{AC}|$ и $|\vec{BD}|$ — их длины.

1. Длина диагонали $AC$: Длина $AC$ уже дана: $|\vec{AC}| = \sqrt{445}$.

2. Длина диагонали $BD$: Рассчитаем длину диагонали $BD$ с помощью теоремы косинусов. Диагональ $BD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$, деля их на отрезки. Примем координаты вершин $A, B, C, D$ как неизвестные, однако длина каждой диагональная либо resolve --- fine with Formals Terminal des automats

Решение задачи

Условие:

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны:
$AB = 2$, $BC = 21$, $CD = 18$, $AD = 11$, и диагональ $AC = \sqrt{445}$.
Нужно:
а) Проверить возможность описания окружности вокруг $ABCD$.
б) Найти угол между диагоналями $AC$ и $BD$.

Часть (а): Описанность окружности

Около четырёхугольника можно описать окружность, если выполняется теорема о сумме противоположных сторон:

Вычисления:

Вывод:
Так как $AB + CD \neq AD + BC$, то около четырёхугольника $ABCD$ нельзя описать окружность.

Часть (б): Угол между диагоналями $AC$ и $BD$

Чтобы найти угол $\theta$ между диагоналями $AC$ и $BD$, используем формулу скалярного произведения: