Упростите выражение a) 1/7x^2*корень из 49x^6, где x больше или равно нулю. b) -5y^6*корень из 1/81y^10, где y меньше нуля

Рассмотрим упрощение каждого выражения отдельно:

a) $\frac{1}{7}x^2 \cdot \sqrt{49x^6}$, где $x \geq 0$:

1. Разберемся с подкоренным выражением $\sqrt{49x^6}$:

   • Корень из произведения разбивается на корни множителей: $$\sqrt{49x^6} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x^6}.$$
   • Корень из $49$ равен $7$: $$\sqrt{49} = 7.$$
   • Для $x^6$, так как $x \geq 0$, мы можем использовать правило $\sqrt{x^6} = x^3$: $$\sqrt{x^6} = x^3.$$
   • Итог: $$\sqrt{49x^6} = 7x^3.$$

2. Подставим $\sqrt{49x^6}$ обратно в выражение:

   $$\frac{1}{7}x^2 \cdot \sqrt{49x^6} = \frac{1}{7}x^2 \cdot 7x^3.$$

3. Упростим выражение:

   • Умножим коэффициенты: $\frac{1}{7} \cdot 7 = 1$.
   • Умножим степени $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$.
   • Итог: $$x^5.$$

b) $-5y^6 \cdot \sqrt{\frac{1}{81y^{10}}}$, где $y < 0$:

1. Разберемся с подкоренным выражением $\sqrt{\frac{1}{81y^{10}}}$:

   • Корень из дроби равен дроби из корней: $$\sqrt{\frac{1}{81y^{10}}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{81y^{10}}}.$$
   • Найдем корни числителя и знаменателя:
     • $\sqrt{1} = 1$,
     • $\sqrt{81} = 9$,
     • $\sqrt{y^{10}} = y^5$ (здесь используется модуль $|y|$, но так как $y < 0$, $\sqrt{y^{10}} = (-y)^5 = y^5$