Помогите!)

Найдите точки экстремума и определите их характер: y=2x^3 - 10x^2 + 6x.

Чтобы найти точки экстремума функции $y = 2x^3 - 10x^2 + 6x$, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для начала нужно найти первую производную функции $y(x)$, так как точки экстремума находятся там, где производная равна нулю (или не существует).

Функция: $y(x) = 2x^3 - 10x^2 + 6x$

Вычислим первую производную:

Шаг 2: Найдем критические точки.

Теперь нужно найти значения $x$, при которых $y'(x) = 0$, то есть решить уравнение:

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для этого сначала вычислим дискриминант:

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их по формуле:

Два корня:

Итак, критические точки — это $x = 3$ и $x = \frac{1}{3}$.

Шаг 3: Определим характер экстремумов.

Для того чтобы понять, является ли каждая из критических точек точкой максимума или минимума, используем вторую производную.

Найдем вторую производную функции $y(x)$:

Теперь подставим критические точки в вторую производную.

1. Для $x = 3$:

Так как $y''(3) > 0$, это означает, что точка $x = 3$ — точка минимума.

2. Для $x = \frac{1}{3}$:

Так как $y''\left( \frac{1}{3} \right) < 0$, это означает, что точка $x = \frac{1}{3}$ — точка максимума.

Ответ:

• Точка $x = 3$ — точка минимума.
• Точка $x = \frac{1}{3}$ — точка максимума.