Найти точки экстремума и значение функции в этих точках y=3e^2x - 2e^3x

Для нахождения точек экстремума функции $y = 3e^{2x} - 2e^{3x}$, нужно выполнить несколько шагов: найти первую производную, приравнять её к нулю, затем решить полученное уравнение. После этого нужно проверить, является ли найденная точка экстремумом, и найти значение функции в этих точках.

1. Находим первую производную функции.

Для нахождения производной используем стандартные правила дифференцирования для экспоненциальных функций:

Применим это к нашей функции:

Теперь находим производную по отдельности для каждого члена:

• Производная $3e^{2x}$ будет: $3 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}$,
• Производная $-2e^{3x}$ будет: $-2 \cdot 3e^{3x} = -6e^{3x}$.

Итак, первая производная функции $y'(x)$ равна:

2. Находим критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

Упростим уравнение:

Так как экспоненциальная функция $e^{2x}$ никогда не равна нулю, остаётся:

Из этого уравнения получаем:

Решением этого уравнения будет $x = 0$.

3. Проверка второй производной (проверка типа экстремума).

Чтобы определить, является ли точка $x = 0$ максимумом или минимумом, найдём вторую производную функции:

Теперь найдём производную от каждого слагаемого:

• Производная $6e^{2x}$ будет: $6 \cdot 2e^{2x} = 12e^{2x}$,
• Производная $-6e^{3x}$ будет: $-6 \cdot 3e^{3x} = -18e^{3x}$.

Таким образом, вторая производная функции:

Подставим $x = 0$:

Так как вторая производная отрицательная, это значит, что в точке $x = 0$ находится локальный максимум.

4. Находим значение функции в точке экстремума.

Теперь найдём значение функции $y$ в точке $x = 0$:

Ответ:

• Точка экстремума: $x = 0$,
• Тип экстремума: локальный максимум,
• Значение функции в точке экстремума: $y(0) = 1$.