Автомобиль прошел с некоторой постоянной скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошел половину пути с той же скоростью, а затем
увеличил ее на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 2/5ч меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью шел автомобиль из А в В?

Для решения задачи давайте введем несколько переменных и шаг за шагом разберемся с условиями.

1. Обозначения и начальные данные:

   • Пусть скорость автомобиля на пути от А до В равна $v$ км/ч.
   • Длина пути от А до В — 240 км.
   • Время, затраченное на путь от А до В, будет равно $\frac{240}{v}$ часов (по формуле $\text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$).

2. Обратный путь:

   • На обратном пути автомобиль сначала проезжает половину пути (то есть 120 км) с той же скоростью $v$, а потом увеличивает скорость на 10 км/ч, т.е. его новая скорость на оставшемся пути — $v + 10$ км/ч.
   • Время, затраченное на первую половину пути (120 км), составит $\frac{120}{v}$ часов.
   • Время, затраченное на вторую половину пути (120 км) со скоростью $v + 10$, составит $\frac{120}{v + 10}$ часов.

3. Условие задачи:

   • На обратный путь затрачено на 2/5 часа меньше, чем на путь от А до В.
   • Время на обратный путь — это сумма времени на первую и вторую половину пути: $$\frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}.$$
   • Время на путь от А до В — это $\frac{240}{v}$.
   • Условие задачи можно записать как: $$\frac{240}{v} - \left( \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10} \right) = \frac{2}{5}.$$

4. Упрощение уравнения:

   • Приведем левую часть уравнения к общему виду: $$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}.$$ Это упрощается до: $$\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = \frac{2}{5}.$$
   • Выделим общий множитель 120: $$120 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} \right) = \frac{2}{5}.$$
   • Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{1}{v} - \frac{1}{v + 10} = \frac{(v + 10) - v}{v(v + 10)} = \frac{10}{v(v + 10)}.$$
   • Подставим это в уравнение: $$120 \cdot \frac{10}{v(v + 10)} = \frac{2}{5}.$$
   • Упростим: $$\frac{1200}{v(v + 10)} = \frac{2}{5}.$$
   • Умножим обе части уравнения на 5: $$\frac{6000}{v(v + 10)} = 2.$$
   • Умножим обе части на $v(v + 10)$: $$6000 = 2v(v + 10).$$
   • Раскроем скобки: $$6000 = 2v^2 + 20v.$$
   • Переносим все на одну сторону: $$2v^2 + 20v - 6000 = 0.$$
   • Разделим на 2: $$v^2 + 10v - 3000 = 0.$$

5. Решение квадратного уравнения:

   • Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
   • В нашем случае $a = 1$, $b = 10$, $c = -3000$. Подставляем в формулу: $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000)}}{2 \cdot 1}.$$