Моторная лодка прошла против течения 10 км, а по течению
–
9 км, приче
м по течению
она шла на 30 мин меньше, чем против течения. Найдите собственную скорость лодки,
если скорость течения 2 км/ч

Для решения задачи введем несколько обозначений:

• Пусть собственная скорость лодки (без учета течения) равна $v$ км/ч.
• Скорость течения реки равна 2 км/ч.
• Время, которое лодка затратила на путь против течения, обозначим через $t_1$ (в часах).
• Время, которое лодка затратила на путь по течению, обозначим через $t_2$ (в часах).

Теперь разберемся с условиями задачи:

1. Путь против течения: Лодка прошла 10 км против течения. С учетом того, что на пути против течения скорость лодки уменьшается на скорость течения, её скорость против течения будет равна $v - 2$ км/ч. Тогда время, затраченное на путь против течения, можно выразить как:

   $$t_1 = \frac{10}{v - 2}.$$

2. Путь по течению: Лодка прошла 9 км по течению. В этом случае скорость лодки увеличивается на скорость течения, и её скорость по течению будет равна $v + 2$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, можно выразить как:

   $$t_2 = \frac{9}{v + 2}.$$

3. Время по течению на 30 минут меньше времени против течения: Из условия задачи известно, что время, затраченное на путь по течению, на 30 минут меньше, чем время против течения. 30 минут — это $\frac{1}{2}$ часа. То есть:

   $$t_2 = t_1 - \frac{1}{2}.$$

Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби с $\frac{1}{2}$:

что дает:

Теперь приведем правую часть уравнения к общему знаменателю:

Получаем следующее уравнение:

Теперь умножим обе части на $(v + 2)(v - 2)$ (это произведение знаменателей) для избавления от дробей:

Раскроем скобки:

Упростим уравнение:

Переносим все в одну сторону:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня: