Построить график функции y=2x^4-x^2+1

Чтобы построить график функции $y = 2x^4 - x^2 + 1$, нужно выполнить несколько шагов, которые включают анализ поведения функции и использование координат для построения кривой. Вот подробная инструкция:

1. Анализ функции

Функция $y = 2x^4 - x^2 + 1$ — это многочлен степени 4, и ее график будет выглядеть как плавная кривая. Рассмотрим её основные свойства:

Поведение функции при больших значениях $|x|$:

• При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, член $2x^4$ будет доминировать, так как степень 4 больше, чем степень 2.
• Таким образом, при $x \to \pm \infty$ $y \to +\infty$. Это значит, что график функции будет стремиться вверх с обеих сторон.

Нахождение производных:

Для нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) и анализа поведения функции можно использовать первую и вторую производные.

1. Первая производная:

   $$y' = \frac{d}{dx}(2x^4 - x^2 + 1) = 8x^3 - 2x$$

   Приводим к общему виду:

   $$y' = 2x(4x^2 - 1)$$

   Это выражение равно нулю при $x = 0$ и $x = \pm \frac{1}{2}$.

2. Вторая производная:

   $$y'' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 2x) = 24x^2 - 2$$

   При $x = 0$ вторая производная $y''(0) = -2$, что говорит о том, что в точке $x = 0$ функция имеет локальный максимум.

Поведение функции при $x = 0$:

Подставив $x = 0$ в исходную функцию, получаем:

Таким образом, точка $(0, 1)$ — это локальный максимум.

2. График функции

Для построения графика можно рассмотреть несколько ключевых точек и поведение функции на интервалах, определённых первой и второй производными.

1. Точки, где производная равна нулю:

   • При $x = 0$, как мы уже выяснили, функция достигает максимума. Точка $(0, 1)$ — это локальный максимум.
   • При $x = \pm \frac{1}{2}$ функция имеет экстремумы. Можно подставить эти значения в исходное уравнение, чтобы найти точные значения $y$.

2. График для $x \to \pm \infty$: Как упоминалось ранее, при $x \to \pm \infty$, функция растёт, и график будет направляться вверх.

3. Значения для нескольких точек: Подставив различные значения $x$, можно получить координаты точек для построения графика:

   • При $x = 1$: $y = 2(1)^4 - (1)^2 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$
   • При $x = -1$: $y = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$
   • При $x = 2$: $y = 2(2)^4 - (2)^2 + 1 = 32 - 4 + 1 = 29$
   • При $x = -2$: $y = 2(-2)^4 - (-2)^2 + 1 = 32 - 4 + 1 = 29$

Теперь, имея несколько точек и информацию о поведении функции, можно построить график. Важно, что график будет симметричным относительно оси $y$, так как функция чётная (все степени переменной $x$ четные).

3. Построение графика

1. Начертите систему координат с осями $x$ и $y$.
2. Нанесите точки, которые мы нашли:
   • $(0, 1)$ — локальный максимум.
   • $(1, 2)$, $(-1, 2)$ — точки на графике при $x = \pm 1$.
   • $(2, 29)$, $(-2, 29)$ — точки на графике при $x = \pm 2$.
3. Соедините точки плавной кривой, которая будет расти при $|x| \to \infty$, и имеет локальный максимум в точке $(0, 1)$.

График будет выглядеть как вогнутая вверх кривая, с локальным максимумом в центре и растущая по обе стороны от неё.