Расстояние между городами A и B равно 375 км.Город С.-- находиться между городами А и В. Из города A в г ород B выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A автомобиль прибыл в В . Найдите расстояние от А до С.



Помогите ! Сделайте все решения с подробным объяснением, пожалуйста !

Решение

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначения и данные задачи:

• Расстояние между городами $A$ и $B$: $375 \, \text{км}$.
• Мотоциклист выехал из $A$ через $1.5 \, \text{часа}$ после автомобиля.
• Скорость мотоциклиста: $75 \, \text{км/ч}$.
• Мотоциклист догоняет автомобиль в городе $C$, а потом возвращается в $A$.
• К моменту возвращения мотоциклиста в $A$, автомобиль успел доехать до $B$.

Нужно найти расстояние от $A$ до $C$, которое обозначим как $x \, \text{км}$.

2. Скорость автомобиля:

Обозначим скорость автомобиля как $v \, \text{км/ч}$.

3. Время движения автомобиля:

Автомобиль и мотоциклист встретились в $C$. За это время:

• Автомобиль двигался всё время, начиная с момента выезда из $A$.
• Мотоциклист двигался только после задержки в $1.5 \, \text{часа}$.

Пусть время движения автомобиля до города $C$ равно $t \, \text{часов}$. Тогда:

1. Расстояние, которое проехал автомобиль: $x = v \cdot t$.
2. Мотоциклист догнал автомобиль за время $t - 1.5 \, \text{часов}$ (поскольку он начал позже).

Расстояние, проеханное мотоциклистом за это время:

4. Уравнение для нахождения времени $t$:

Так как оба достигли города $C$, их пройденные расстояния равны:

Раскрываем скобки:

Переносим всё с $t$ в одну сторону:

Выносим $t$ за скобки:

И выражаем $t$:

5. Время движения мотоциклиста и завершение движения автомобиля:

Когда мотоциклист возвращается в $A$, он преодолевает расстояние $x$ в две стороны, а это занимает у него $\frac{2x}{75} \, \text{часов}$.

К этому моменту автомобиль завершил движение до $B$. Время движения автомобиля до $B$:

То есть:

6. Подстановка $x = v \cdot t$:

Мы знаем, что $x = v \cdot t$. Подставляем это в уравнение для времени мотоциклиста:

Умножаем всё на $75v$, чтобы избавиться от дробей:

Раскрываем скобки:

Выносим $t$ за скобки:

И выражаем $t$:

7. Нахождение $v$:

Мы знаем, что автомобиль и мотоциклист встретились в $C$, и что $v > 75$. Подбираем $v$, удовлетворяющее условиям задачи. Для $v = 100 \, \text{км/ч}$:

• $t = \frac{112.5}{100 - 75} = 4.5 \, \text{часа}$.
• $x = 100 \cdot 4.5 = 450 \, \text{км}$.

Но это больше $375 \, \text{км}$. Перепроверяем:

При $v = 100 \, \text{км/ч}$, автомобиль явно не удовлетворяет условиям, так как расстояние $x$ превышает весь путь $375 \, \text{км}$. Давайте подберём более подходящую скорость для автомобиля.

Поправка к вычислениям:

Продолжим расчёты, чтобы получить логически правильный результат.

1. Обратное выражение через $x$:

Чтобы упростить задачу, снова возвращаемся к ключевому уравнению:

Заменяем $t$ через $x$: