При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

⁶√a(a-8)

Для того чтобы выражение $⁶\sqrt{a(a-8)}$ имело смысл, нужно учесть несколько важных моментов, связанных с областью определения. Рассмотрим их по порядку.

1. Корень шестой степени (⁶√): Корень шестой степени из числа существует для всех действительных значений $a$, если подкоренное выражение не отрицательно, то есть если $a(a - 8) \geq 0$. Так как $⁶\sqrt{x}$ определён для всех $x \geq 0$ и для отрицательных чисел, но только если степень корня чётная (в данном случае 6), корень из отрицательного числа тоже будет существовать (результат будет комплексным).

2. Подкоренное выражение $a(a - 8)$: Чтобы определить, для каких значений $a$ подкоренное выражение $a(a - 8)$ будет неотрицательным, нужно решить неравенство $a(a - 8) \geq 0$. Это неравенство разложим на множители:

   $$a(a - 8) = a^2 - 8a$$

   Теперь решим это неравенство:

   $$a(a - 8) \geq 0$$

   Это неравенство будет выполняться, если $a \leq 0$ или $a \geq 8$. То есть $a$ должно быть либо меньше или равно 0, либо больше или равно 8.

3. Итак, область определения: Область определения выражения $⁶\sqrt{a(a-8)}$ будет: $a \leq 0$ или $a \geq 8$.

   Важно, что для значений $0 < a < 8$ подкоренное выражение станет отрицательным, и для действительных значений оно не будет иметь смысла (если рассматривать только действительные числа).

Таким образом, выражение $⁶\sqrt{a(a-8)}$ имеет смысл, если $a \leq 0$ или $a \geq 8$.