Найдите область значений функции y=x²-6x-13, где х принадлежит [-2;7]

Чтобы найти область значений функции $y = x^2 - 6x - 13$ на отрезке $x \in [-2; 7]$, нужно определить минимальное и максимальное значения функции на заданном интервале. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом:

Шаг 1: Найдите производную функции

Функция $y = x^2 - 6x - 13$ является квадратичной. Для нахождения экстремумов функции найдем её производную:

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся из условия $y' = 0$. Решим это уравнение:

Шаг 3: Определите поведение функции в критической точке

Для квадратичной функции $y = x^2 - 6x - 13$, ветви параболы направлены вверх ($a = 1 > 0$), поэтому $x = 3$ — это точка минимума.

Шаг 4: Вычислите значения функции в критической точке и на концах отрезка

Подставим найденные точки ($x = 3$) и концы интервала ($x = -2$ и $x = 7$) в функцию $y = x^2 - 6x - 13$, чтобы найти соответствующие значения $y$.

1. Для $x = -2$:

2. Для $x = 7$:

3. Для $x = 3$ (точка минимума):

Шаг 5: Определите область значений

Теперь сравним полученные значения $y$:

• Минимальное значение функции: $y = -22$ при $x = 3$.
• Максимальное значение функции: $y = 3$ при $x = -2$.

Таким образом, область значений функции на отрезке $x \in [-2; 7]$ равна:

Итог:

Область значений функции $y = x^2 - 6x - 13$ на интервале $x \in [-2; 7]$ — это отрезок $[-22; 3]$.