Докажите справедливость неравенства
x^8 - 6x^4 + 10>0 для любого действительного числа х.
Помогите, пожалуйста!!!!!!!!!!!!!!!♥♥♥

Для доказательства неравенства $x^8 - 6x^4 + 10 > 0$ для любого действительного числа $x$, давайте проведем последовательный анализ.

1. Подстановка новой переменной

Посмотрим на выражение $x^8 - 6x^4 + 10$. Заметим, что в нем есть степень 4 и степень 8 от $x$, что нам подсказывает, что будет удобнее ввести новую переменную. Пусть:

Тогда выражение преобразуется в:

Теперь нам нужно доказать, что это выражение всегда больше нуля для любого $y$, где $y = x^4 \geq 0$ (так как для всех $x$ действительных чисел $x^4 \geq 0$).

2. Анализ квадратичной функции

Теперь рассмотрим квадратичную функцию $f(y) = y^2 - 6y + 10$. Мы хотим понять, может ли эта функция быть меньше или равной нулю для $y \geq 0$. Для этого можно исследовать её дискриминант.

Дискриминант квадратичной функции $Ay^2 + By + C$ рассчитывается по формуле:

Для функции $f(y) = y^2 - 6y + 10$, где $A = 1$, $B = -6$, $C = 10$, дискриминант равен:

Так как дискриминант отрицателен, то у этой квадратичной функции нет действительных корней. Это означает, что график функции не пересекает ось $y = 0$, а значит, функция $f(y) = y^2 - 6y + 10$ не меняет знака и всегда либо положительна, либо отрицательна.

3. Проверка знака функции

Чтобы определить, всегда ли функция положительна, можно вычислить её значение в какой-либо точке. Например, в точке $y = 0$:

Так как $f(0) = 10 > 0$, а дискриминант отрицателен (что означает отсутствие корней), то квадратичная функция $f(y) = y^2 - 6y + 10$ всегда положительна для всех $y \geq 0$.

4. Заключение

Поскольку $f(y) = y^2 - 6y + 10 > 0$ для всех $y \geq 0$, и $y = x^4 \geq 0$ для всех действительных чисел $x$, то выражение $x^8 - 6x^4 + 10 > 0$ выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, неравенство доказано.