Если смешать 40 – процентный раствор кислоты и 90 – процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62 – процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50 – процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72 – процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40 – процентного раствора использовали для получения смеси?

Задача заключается в том, чтобы найти, сколько килограммов 40%-ного раствора кислоты использовали для получения смеси. Для этого нужно решить систему уравнений, исходя из данных о концентрации растворов.

Обозначим:

• $x$ — массу 40%-ного раствора (в кг),
• $y$ — массу 90%-ного раствора (в кг).

1. Уравнение для первого случая:

Когда смешивают 40%-ный раствор с 90%-ным раствором и добавляют 10 кг чистой воды, то в итоге получается 62%-ный раствор. Вода не содержит кислоты, поэтому ее можно не учитывать при расчете массы кислоты в растворе. Запишем уравнение для массы кислоты до и после добавления воды:

Масса кислоты в 40%-ном растворе: $0,4x$ кг.
Масса кислоты в 90%-ном растворе: $0,9y$ кг.
Масса кислоты в 10 кг воды: 0 кг.

Общая масса смеси: $x + y + 10$ кг.
Концентрация кислоты в смеси должна быть 62%, то есть масса кислоты в смеси будет составлять $0,62(x + y + 10)$ кг.

Тогда получаем уравнение:

Раскроем скобки:

Переносим все слагаемые, содержащие $x$ и $y$, в одну часть уравнения, а числа — в другую:

Упростим:

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных:

2. Уравнение для второго случая:

Теперь рассмотрим второй случай, когда вместо воды добавляют 10 кг 50%-ного раствора. Масса кислоты в 50%-ном растворе будет составлять $0,5 \times 10 = 5$ кг. В этом случае в смеси получается 72%-ный раствор, то есть масса кислоты в смеси составляет $0,72(x + y + 10)$ кг.

Масса кислоты в растворе будет такой:

Раскроем скобки:

Переносим все слагаемые, содержащие $x$ и $y$, в одну часть уравнения, а числа — в другую:

Упростим:

Умножим обе части уравнения на 100:

3. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

1. $-22x + 28y = 620$
2. $-32x + 18y = 220$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 9, а второе — на 7, чтобы при сложении уравнений избавиться от дробных коэффициентов при $y$:

Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

Теперь упрощаем:

Подставляем результат в исходную систему,