Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.

Для решения задачи давайте введем несколько обозначений:

• Пусть $v$ — скорость течения реки (км/ч).
• Скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Когда катер движется против течения, его скорость относительно берега будет $20 - v$ км/ч, а когда по течению — $20 + v$ км/ч.

Задача сообщает, что:

• Катер прошёл 36 км против течения, и 22 км по течению.
• Время, которое он потратил на весь путь, равно 3 часам.

Теперь воспользуемся формулой для времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Шаг 1: Рассчитаем время, затраченное на каждый участок пути.

1. Время, затраченное на путь против течения (36 км):

   $$t_{\text{против}} = \frac{36}{20 - v}$$

2. Время, затраченное на путь по течению (22 км):

   $$t_{\text{по}} = \frac{22}{20 + v}$$

Сумма этих времен должна быть равна 3 часам:

Шаг 2: Решим уравнение.

1. Приведем уравнение к общему знаменателю:

   $$\frac{36}{20 - v} + \frac{22}{20 + v} = \frac{36(20 + v) + 22(20 - v)}{(20 - v)(20 + v)} = 3$$

   Раскроем числители:

   $$36(20 + v) = 720 + 36v$$ $$22(20 - v) = 440 - 22v$$

   Теперь подставим это в уравнение:

   $$\frac{720 + 36v + 440 - 22v}{400 - v^2} = 3$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{1160 + 14v}{400 - v^2} = 3$$

2. Умножим обе части уравнения на $400 - v^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$1160 + 14v = 3(400 - v^2)$$

   Раскроем скобки:

   $$1160 + 14v = 1200 - 3v^2$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$3v^2 + 14v - 40 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 3$, $b = 14$, $c = -40$:

Подставим значения:

Таким образом, получаем два возможных значения для $v$:

1. $v = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$
2. $v = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -6.67$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, остаётся значение $v = 2$