Дан куб ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ad1 и dc1.ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол между прямыми $AD_1$ и $DC_1$ в кубе ABCDA1B1C1D1, нужно немного разобрать геометрическую задачу и использовать методы векторной геометрии. Рассмотрим куб как прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны между собой.

Шаг 1: Расположение точек в пространстве

Предположим, что куб находится в трехмерной декартовой системе координат. Пусть:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (1, 0, 0)$
• $C = (1, 1, 0)$
• $D = (0, 1, 0)$
• $A_1 = (0, 0, 1)$
• $B_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (1, 1, 1)$
• $D_1 = (0, 1, 1)$

Шаг 2: Векторы, направленные вдоль прямых

Нам нужно найти угол между прямыми $AD_1$ и $DC_1$. Для этого представим эти прямые как векторы, направленные вдоль этих линий:

• Прямая $AD_1$ проходит от точки $A = (0, 0, 0)$ до точки $D_1 = (0, 1, 1)$, соответственно, вектор, направленный вдоль прямой $AD_1$, равен $\overrightarrow{AD_1} = D_1 - A = (0, 1, 1)$.
• Прямая $DC_1$ проходит от точки $D = (0, 1, 0)$ до точки $C_1 = (1, 1, 1)$, соответственно, вектор, направленный вдоль прямой $DC_1$, равен $\overrightarrow{DC_1} = C_1 - D = (1, 0, 1)$.

Шаг 3: Использование формулы для угла между векторами

Для нахождения угла между двумя векторами $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ используется следующая формула:

Где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — их длины.

• Скалярное произведение $\overrightarrow{AD_1} \cdot \overrightarrow{DC_1}$:

  $$(0, 1, 1) \cdot (1, 0, 1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$$

• Длины векторов:

  $$|\overrightarrow{AD_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$|\overrightarrow{DC_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$